ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЫДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА (АБСОЛЮТА)
5. Свойства преобразований координат между ИСО
Из теории векторных пространств известно, что координаты t',x',y',z' некоторого события в ИСО J' линейно выражаются через координаты t,x,y,z того же события в АСО J, так как любая ИСО является базисом в векторном пространстве R4. Поэтому преобразование координат из АСО в ИСО (с общим началом отсчета) имеет вид:
t' = att(v')t +atx(v')x
+aty(v')y +atz(v')z
x' = axt(v')t +axx(v')x +axy(v')y +axz(v')z
(3)
y' = ayt(v')t +ayx(v')x +ayy(v')y +axz(v')z
z' = azt(v')t +azx(v')x +azy(v')y +azz(v')z
где коэффициенты aij(v') не зависят от значений координат t,x,y,z точки в АСО и координат t',x',y',z' этой точки в системе J'. Явная зависимость aij(v') от вектора абсолютной скорости v' движения J' в АСО показана здесь в силу того, что эта зависимость может присутствовать и ее необходимо выявить. Для заданной скорости v' значения коэффициентов aij(v') постоянны, а для всей совокупности ИСО значения коэффициентов aij(v') составляют некоторые функции, непрерывные в силу непрерывности v'.
Обозначим A(v') - матрицу преобразования координат АСО (t,x,y,z) в координаты J'. Тогда линейное преобразование (3) можно записать в виде:
(t',x',y',z')=(t,x,y,z) A(v') (4)
Так как и АСО, и система J' являются базисом пространства R4, то существует обратное преобразование из системы J' в АСО. Поскольку произведение прямого преобразования на обратное переводит координаты АСО (t,x,y,z) в самих себя, т.е. произведение матриц таких преобразований есть единичная матрица, то детерминант det(A(v')) не равен нулю для любой скорости v', и матрица обратного преобразования координат является обратной матрицей A-1(v'). Отметим, что в обратной матрице остается зависимость от прямой скорости.
Если скорость v' ИСО J' в АСО J не параллельна оси X, то существует поворот осей P, делающий оси X АСО и ИСО параллельными v'. Отметим, что поворот осей АСО не меняет величину вектора v'. Если новые координаты J'P' в повернутой ИСО связаны с помощью матрицы A(v') с новыми координатами JP в повернутой АСО : J'P'=JPA(v'), то связь старых координат J' и J выражается формулой:
J'=JPA(v')P'-1 (5)
Поэтому далее для определения матрицы A(v') ограничимся рассмотрением только подмножества MA таких систем отсчета J' из множества M, для которых их скорости в АСО параллельны направлению их осей X. Вектор скорости может быть направлен и в отрицательном направлении оси X АСО. Заметим, что при v'=0 получаем преобразование координат из АСО в АСО, и в силу единственности системы отсчета должно быть att(0)= axx(0)= ayy(0)=azz(0)=1, axy(0)=ayx(0)=axt(0)= atx(0)=ayt(0)=aty(0)= axz(0)=azx(0)=atz(0)= azt(0)=ayz(0)=azy(0)=0. То есть A(0)=E - единичная матрица.
Поскольку начала отсчета ИСО и АСО совпадают, то оси X', Y', Z' ИСО J' в момент времени t'=0 совпадают с соответствующими осями X, Y, Z АСО в момент времени t=0.
Нахождение произвольной точки в АСО на оси Y в момент времени t=0 означает, что ее координаты имеют вид (0,0,y,0), а на оси Z - (0,0,0,z). Аналогичное свойство верно для J' : нахождение произвольной точки на оси Y' в момент времени t'=0 означает, что ее координаты имеют вид (0,0,y',0), а на оси Z' - (0,0,0,z'). Поскольку для ИСО J' точка (0,0,y',0) соответствует некоторой точке в АСО с координатами (0,0,y,0) в силу совпадения осей при t=t'=0, а точка (0,0,0,z') - точке (0,0,0,z), а точке (t',x',0,0) - точка (0,x,0,0), то, взяв y>0 и подставив значения координат в (3), получим: 0=aty(v')y ; 0=axy(v')y ; y'=ayy(v')y ; 0=azy(v')y ; откуда aty(v')=axy(v')=azy(v')=0. Взяв z>0 и подставив значения координат в (3), получим: 0=atz(v')z ; 0=axz(v')z ; 0=ayz(v')z ; z'=azz(v')z ; откуда atz(v')=axz(v')=ayz(v')=0. Точка (0,x,0,0) соответствует некоторой точке в ИСО с координатами (t',x',0,0) в силу нахождения этой точки на оси X, и при x>0 получим: 0=axy(v')x ; 0=axz(v')x ; откуда axy(v')=axz(v')=0. Начало координат АСО в момент t (t,0,0,0) соответствует точке (t',x',0,0) для ИСО J' в силу движения в ИСО начала координат АСО только по оси X', и при t>0 получим: 0=ayt(v')t ; 0=azt(v')t; откуда ayt(v')=azt(v')=0. Так как коэффициенты матрицы A(v') от значений координат не зависят, то полученные соотношения выполняются для всех точек АСО.
Следовательно, для множества MA преобразование (3) имеет вид:
t' = att(v')t +atx(v')x
x' = axt(v')t +axx(v')x (6)
y'= ayy(v')y
z'= azz(v')z
Проекции относительной скорости u' движения АСО в ИСО (обратная скорость) на оси системы J' определяются для образа точки (t,0,0,0) в J', и имеют вид:
u'x= x' / t'=axt(v') / att(v'); u'y=0 ; u'z=0.
Следовательно, скорость u' выражается через скорость v' в явном виде:
u'=u'x= axt(v') / att(v') (7)
Вычислим проекции скорости v' из соотношений (6) с учетом того, что точка x'=y'=z'=0 движется в АСО с абсолютной скоростью v' :
v'x=x/ t= - axt(v') / axx(v'); v'y=y / t= -ayt(v') / axx(v')=0; v'z=z/ t =0.
Следовательно, скорость v' выражается через два элемента матрицы A(v'):
v'=v'x=x/ t= - axt(v') / axx(v') (8)
Ясно, что и для ненулевой скорости v' коэффициенты att(v'), axx(v'), ayy(v') и azz(v') не могут равняться нулю, так как в противном случае det(A(v'))=0, что невозможно. С учетом условия совпадения направления соответствующих осей и соотношения att(0)=axx(0)=ayy(0)=azz(0)=1 получаем для любой скорости v' :
att(v')>0; axx(v')>0; ayy(v')>0; azz(v')>0 (9)
Величина 1/ayy(v') определяет в АСО изменение размера по оси Y тела, двигающегося в АСО вдоль оси X. Для определения коэффициента ayy(v') рассмотрим в АСО два неподвижных тела: цилиндр радиуса R1 и надетую на цилиндр втулку внутреннего радиуса R2, R2>R1 . Величину R2-R1 можно задать сколь угодно малой. Предположим, что для некоторой скорости v' величина ayy(v')<1. Пусть теперь внутренний цилиндр двигается по оси X со скоростью v'. В ИСО цилиндра его радиус также будет R1, по линейке, которая двигается вместе с цилиндром. Тогда в АСО его радиус станет R1/ayy(v'), и можно заранее выбрать такое R2, что R1/ayy(v')>R2. Но тогда в АСО цилиндр не может быть двигающимся телом, так как пересечение втулки с цилиндром имеет ненулевой объем. То есть, должно выполняться ayy(v')≥1. Предположим, что для некоторой скорости v' величина ayy(v')>1. Пусть теперь внешняя втулка двигается по неподвижному цилиндру со скоростью v'. Ее внутренний радиус в АСО станет R2/ayy(v'), и можно заранее выбрать такое R1, что R2/ayy(v')<R1. Но тогда в АСО втулка не может быть двигающимся телом, так как пересечение втулки с цилиндром имеет ненулевой объем. То есть, должно выполняться ayy(v')≤1. Таким образом, может быть только: ayy(v')=1. Аналогично доказывается соотношение azz(v')=1.
Из соотношения (8) получаем axt(v')=-axx(v')v' . Следовательно, для множества MA преобразование (3) имеет вид:
t' = att(v')t +atx(v')x
x' = (x-v't)axx(v')
(10)
y'=y; z'=z
Если синхронизация в ИСО J' проведена с помощью метода MSN, то совпадение моментов времени двух разнесенных (x1≠x2) событий (t,x1) и (t,x2) в АСО соответствует совпадению соответствующих моментов времени этих событий (t',x'1) и (t',x'2) в ИСО. Подставим эти значения в (10): t' = att(v')t +atx(v')x1; t' = att(v')t +atx(v')x2; и получим (x1-x2)atx(v') =0, то есть:
atx(v')=0 (11)
Откуда следует абсолютная одновременность?
Рассмотрим в АСО две точки A и B, в которых
отметим по два события в моменты t2 и
t1. В ИСО обозначим моменты событий tA2',tA1',tB2',tB1'.
В ИСО есть свое множество неподвижных
часов, которые в силу одинаковости
условий в этой конкретной ИСО имеют
одинаковый темп хода g. Но темп - это
отношение промежутков времени в ИСО и АСО
между двумя событиями: g=(tA2'-tA1')/
(t2-t1)= (tB2'-tB1')/ (t2-t1).
Пусть t1=0, Тогда по условиям
синхронизации MSN будет tA1'= tB1'=
0. Поэтому tA2'=g*t2= tB2' -и это
для любого второго события, то есть, для
любой точки и момента времени. Итак, для
одновременных событий в АСО их моменты в
ИСО будут одновременны, то есть,
выполняется свойство "абсолютной
одновременности". Отсюда следует, что
одновременные события в одной ИСО
одновременны в любой другой. Конечно, g
будет как-то зависеть от скорости
рассмотренной ИСО в АСО.
- - - - - - - -
К началу Оглавление, Главы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Последняя коррекция 15.04.2008 22:48:18