Preprint (01.08.2003)
Date: Fri,01 Aug 2003 23:08:18 GMT
From:redshift0@narod.ru (Alexander Chepick)
Organization:
Newsgroups: sci.physics
Subject: специальная теория относительности
Key words: СТО - специальная теория
относительности - преобразования Лоренца
- длина
СТО - сокращение длины
А.М.Чепик, Нижний Новгород,
e-mail: redshift0@narod.ru
Абстракт
Причина возникновения "парадокса" длин заключается в попытке распространить на разные ИСО свойства транзитивности и антисимметрии длин в одной ИСО.
"Парадокс длины" в СТО объясняется тем, что в разных системах отсчета длины измеряются в разные моменты времени.
Таким образом, "парадокс длины" в СТО отсутствуют.
1. Введение
"... из преобразований Лоренца следует, что
движущийся стержень сокращается
в направлении своего движения..."
А. Эйнштейн [2,с.157]
"Размер фигуры уменьшается в
направлении ее движения". В любом
учебнике по теории относительности можно
найти аналогичную фразу. Каждый знает это,
почти каждый может это доказать.
Некоторые, правда, задумываются, пытаясь
отыскать логику в этом высказывании. В
самом деле, казалось бы, если
рассматривать стержень, как стандартную
единицу длины в своей системе отсчёта, то
получается парадокс:
- единица длины e2 в движущейся
системе отсчета больше единицы длины e1
в неподвижной системе отсчёта;
- по принципу относительности первую (ранее
неподвижную) систему отсчёта можно
рассматривать как движущуюся
относительно второй системы отсчета, и в
ней уже будет единица длины e1
больше единицы длины e2 , то есть e2
> e2 . Получаем метрический
аналог парадокса близнецов.
Почему возник такой парадокс? И парадокс ли это? Рассмотрим сначала, как получается вывод об уменьшении длины в СТО, а затем - различные трактовки этого вывода, и покажем, как возникают подобные парадоксы.
2. Неправильное доказательство
Иногда уменьшение длины доказывается следующим образом.
Пусть стержень двигается в некоторой инерциальной системе отсчёта (ИСО1) с постоянной скоростью V>0. В собственной системе отсчета стержня ИСО2 его длина l':l' >0 измеряется как разность координат x'2 и x'1 концов стержня в один и тот же момент времени t'2 = t'1= t' : l' = x'2 - x'1 . Применим обратные преобразования Лоренца:
x = γ(x'+Vt') ; t = γ(t'+Vx'/c2); (1)
где x и t - координаты в ИСО1, соответствующие координатам события (x', t') в ИСО2 , γ=(1-V2/c2)-1/2>1 .
Отсюда следует, что в ИСО1 длина стержня l , определяемая как разность соответствующих координат x2 и x1 , будет равна:
l = x2 - x1 = γ(x'2+Vt'2) - γ(x'1+Vt'1) = γ(x'2-x'1) = γl' (2)
Оказалось, что длина стержня в движущейся ИСО2 меньше длины стержня в неподвижной ИСО1 , и поэтому некоторые именно так трактуют формулировку об изменении длины стержня.
Ошибка заключается в том, что в СТО одновременные события в одной ИСО не обязательно одновременны в другой ИСО.
3. Правильное доказательство
Но большинство находит причину ошибки приведённых рассуждений, а именно, в ИСО1 координаты x2 и x1 определяются не одновременно.
В самом деле, равенство t'2= t'1 для разнесённых по оси X событий в ИСО2 даёт их неодновременность в ИСО1 :
t2 - t1 = γ(t'2 +Vx'2/c2) - γ (t'1+Vx'1/c2) =γVl'/c2 > 0
А ведь измерение размеров должно производиться в один и тот же момент времени именно в той ИСО, где измеряемое тело движется, так как в противном случае это тело не будет иметь однозначно определенных размеров. Естественно, для неподвижного тела это правило можно не применять, так как метрические координаты, характеризующие размеры такого тела, не изменяются во времени, то есть, от времени не зависят.
Поэтому в ИСО2 следует измерить размеры стержня в такие моменты времени, которые дадут одновременность измерения их в ИСО1 : t2=t1 . Это условие эквивалентно равенству t'2 - t'1 = -Vl'/c2 .
В этом случае получаем соотношение длин стержня:
l = x2 - x1 = γ((x'2- x'1) + V(t'2 -t'1)) = γl'(1-V2/c2) = l'/γ (3)
Длина движущегося в ИСО1 стержня меньше длины того же стержня в его собственной ИСО2 ( где стержень неподвижен).
Итак, причина возникновения "парадокса" заключается в том, что в разных системах отсчета мы измеряем длины в разные моменты времени.
4. Соотношение длин стержня в двух системах отсчета
Выше мы рассмотрели длину одного и того же стержня в двух разных ИСО.
Но в "парадоксе" длин присутствуют разные объекты: стержни единичной длины e1 и e2 , неподвижные в ИСО1 и ИСО2 , соответственно. Каждый из этих стержней имеет длину 1 метр, полученную в своей ИСО по процедуре Сервского стандарта длины (1983 г.). [1,т.3,с.124]
Согласно СТО, в ИСО1 длина движущегося стержня e2 измеряется в моменты времени t2=t1 , и оказывается равна 1/γ , то есть, меньше длины стандартного метра e1 . А в ИСО2 длина движущегося стержня e1 измеряется в моменты времени t'2=t'1 , и оказывается тоже равна 1/γ , то есть, меньше длины стандартного метра e2 . Что произошло бы в ИСО1 , если бы измерение происходило в моменты времени t'2=t'1 , показано в формуле (2) - длина движущегося стержня e2 оказалась бы равна γ , то есть, больше длины стандартного метра e1 .
Итак, и в этом случае причина возникновения "парадокса" заключается в том, что в разных системах отсчета мы измеряем длины в разные моменты времени.
Казалось бы, гораздо сложнее осознать полученные противоположные соотношения длин метровых стержней. Но для этого достаточно понять разницу между "длиной стержня в собственной ИСО" и "длиной стержня в другой ИСО". Прежде всего обратим внимание, что "поперечные" размеры тела в разных ИСО остаются неизменными, меняются лишь продольные размеры тела. При этом оказывается, что если бы мы измеряли тело в разные моменты времени, то соотношение длин было бы другим. Так значит, сама процедура измерения существенно влияет на результаты измерения длин. Мы привязали измерения к моментам времени, но моменты времени измеряются в разных местах, следовательно, они должны быть заданы принятой процедурой синхронизации.
Таким образом, в разных ИСО мы имеем соотношения между собственной длиной тела и длиной тела, измеренной в другой ИСО. От того, что мы измеряем длину тела в десятке разных ИСО, собственная длина тела не изменится. Термин "длина тела" при рассмотрении в разных системах отсчета теряет присущую ему в собственной системе отсчета однозначность, и становится неоднозначным, зависимым в рамках СТО от термина "скорость тела в ИСО".
Итак, в этом "парадоксе" мы говорим не о противоположных соотношениях собственных длин метровых стержней, а о соотношениях измерений этих длин в разных ИСО.
5. Соотношение длин стержня в трех системах отсчета
Рассмотрим три системы отсчёта ИСО0 , ИСО1 и ИСО2 . Пусть ИСО0 неподвижна, в ней ИСО1 двигается с постоянной скоростью V1, а ИСО2 двигается с постоянной скоростью V2 , параллельной V1 , причем V1 < V2 . Относительную скорость V12 ИСО2 в ИСО1 определим по формуле, приведенной в [1,т.3,с.498] :
(1-V122/c2)1/2 = (1-V12/c2)1/2 (1-V22/c2)1/2 / (1-V1V2/c2) (4)
Обозначим длину стержня в системах отсчёта ИСО0 , ИСО1 и ИСО2 соответственно l , l' и l''. Предположим, что формула (3) справедлива в каждой паре ИСО, то есть можно зафиксировать соответствующее изменение длины стержня. Получаем систему уравнений:
l = l'(1-V12/c2)1/2 ; l = l''(1-V22/c2)1/2 ; l' = l''(1-V122/c2)1/2 ;
из которой с учётом формулы (4) получаем:
l' = l''(1-V22/c2)1/2 / (1-V12/c2)1/2
l' = l''(1-V12/c2)1/2 (1-V22/c2)1/2 / (1-V1V2/c2)
Откуда следует V1 = V2 . Получаем противоречие к условию V1 < V2 . То есть, в трёх ИСО нам не удастся провести физический эксперимент - измерить изменение длины стержня, соответствующего преобразованиям Лоренца, так как для трёх ИСО нельзя найти необходимых моментов времени для сравнения длин стержня в этих ИСО.
Таким образом, для длины стержня в разных ИСО отсутствует свойство транзитивности.
Аналогично можно показать, что не выполняется транзитивность в трёх ИСО и для промежутка времени между двумя событиями.
6. Вывод
1. "Парадокс" длины в СТО отсутствуют.
2. "Парадокс" длины возник из-за того, что в разных системах отсчета длины измеряются в разные моменты времени.
3. Причины возникновения парадокса длин заключаются в попытке распространить на разные ИСО свойства транзитивности и антисимметрии длин в одной ИСО.
Литература:
[1] Физическая энциклопедия, (М.,
Советская энциклопедия, 1988-1992.)
[2] А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эволюция
физики, (М., Наука, 1965.)
- - - - - - - -
SRT - Decreasing Length
Alexander M. Chepick
Nizhni Novgorod
e-mail: redshift0@narod.ru
Abstract
The reason of occurrence of "paradox of length" consists in attempt to spread the properties of transitivity and of antisymmetry of lengths from one IFR onto different IFRs.
"The paradox of length" in the SRT is explained by what the lengths are measured in different systems of reference at the different moments of time. Thus, "paradox of length" in the SRT is absent.
Key words: SRT - special relativity theory - Lorentz transformation law - length.
- - - - - - - -
Главная
страница
Eng
Последняя коррекция 26.04.04 12:18:15