Transformation_set_2 Множество преобразований координат и критерии группы

Preprint (18.05.2011)
Date: Wen, 18 May 2011 09:25:00 GMT
From: redshift0@narod.ru (Alexander Chepick)
Newsgroups: sci.physics, sci.mathematics, alt.sci.physics.new-theories
Subject: Множество преобразований координат
Key words: Множество преобразований координат - чеп - группа - свойство относительности
PACS: 02.10.-v, 03.30.+p

Множество преобразований координат и критерии группы

А.М. Чепик, Нижний Новгород

e-mail: redshift0@narod.ru

(Первый вариант этой статьи опубликован в журнале "Актуальные проблемы статистической радиофизики", 2008, т.7, с.125-140
http://www.mptalam.org/a200812.html, и на сайте автора - http://redshift0.narod.ru/Rus/Stationary/Absolute/Transformation_set_1.htm )

Абстракт
В статье показано, что в линейном пространстве множество преобразований координат (ИП) между инерциальными системами отсчёта не является группой; для описания свойств преобразований предложено определение алгебраической структуры "чеп", в которую вписывается и ИП, и преобразования Лоренца; доказан критерий : множество преобразований G является группой тогда и только тогда, когда в чепе, соответствующем G, выполнено "свойство относительности"; для группы преобразований доказана их зависимость только от относительной скорости.
Основной вывод статьи : предъявляемое к преобразованиям координат требование образовывать группу - в общем случае неверное.

Оглавление

1. Введение
2. Попытки обоснования условия наличия группы; определение группы
3. Свойства множества преобразований координат; определение чепа
4. Преобразования координат в линейном пространстве
5. Чеп и множество ИП
6. Чеп и множество преобразований Лоренца
7. Критерий группы
8. Принцип относительности и однопараметричность
9. Множество ИП - не группа
10. Выводы
Литература
Приложение: Множество ИП не является группой

1. Введение

Вопрос об образовании группы множеством преобразований координат появился в начале XX века, когда Анри Пуанкаре в своей Палермской статье[1] показал, что Преобразования Лоренца образуют группу.

Свойства группы чрезвычайно важны в физике, так как они позволяют обосновывать существование инвариантов при описании физических процессов в разных системах отсчёта, например, инвариант скорости света в вакууме. Поэтому понятно стремление физиков обосновать и использовать принцип существования группы преобразований координат. Поскольку математически эту проблему решить невозможно (пример негрупповых преобразований приведён в "Лекциях" Л.И. Мандельшама [2, с.263]), то были сделаны попытки физического обоснования существования группы [2-4]. В конце концов, преобразованиям, обладающими свойствами группы, было дано определение "Физические"[5], остальным – Нефизические", "Математические", "Промежуточные", "Временные" и т.п. Соответственно, наличие группы стало критерием для отбраковки всех теорий с "нефизическими" преобразованиями.

Можно долго и сложно разбираться, насколько это правильно, и в чём заключается физичность преобразований, но в этой статье предлагается другой подход. Очевидно, что преобразования координат обладают свойствами, не подпадающими под условия общего определения группы, в котором не говорится, например, о системах отсчёта и их относительных скоростях. Для учёта таких отличий необходимо ввести специализированный алгебраический объект, достаточный для описания преобразований координат, на его основе математически описать имеющиеся физические требования и сравнить их с условиями группы.

Поэтому целью этой статью является:
- предложение определения специализированной алгебраической структуры, имеющей свойства, достаточные для описания преобразований координат и их композиций;
- нахождение критериев существования группы в множестве преобразований координат;
- доказательство существования физических преобразований координат между инерциальными системами отсчёта (ИСО) в линейном пространстве, множество которых группу не составляет, хотя с одинаковой (с преобразованиями Лоренца) точностью описывают события в рамках соответствующей теории.

2. Попытки обоснования условия наличия группы; определение группы

Первым из ученых, кто обратил внимание на связь преобразований координат и понятия группы, был Анри Пуанкаре. В своей Палермской статье [+1], он показал, что Преобразования Лоренца образуют группу, и сделал следующий вывод: "Преобразования, не изменяющие уравнения движения, должны составлять группу, а это может иметь место только при ℓ=1".[1,§7. Квазистационарное движение]

Здесь условие "не изменяющие уравнения движения" - означает невозможность определения абсолютного движения Земли, то есть, выполнение постулата относительности в формулировке: "невозможность показать опытным путем абсолютное движение земли", которую Пуанкаре дал в этой же статье во Введении. Величина "ℓ" взята из Преобразований Лоренца, которые в статье записаны в виде:
" x'=kℓ (x+εt); t'= kℓ (t+εx); y'=ℓ y; z'=ℓ z; (3) "
где k=(1-ε²)^-1/2.[1,§1] Следовательно, цитируемый вывод Пуанкаре относится только к Преобразованиям Лоренца, которые сами были выведены из условия выполнения уравнений Максвелла в разных ИСО, то есть, инвариантности этих уравнений, что тоже соответствует постулату относительности Пуанкаре.

Однако эту формулировку (о группе) некоторые восприняли в качестве обобщения на все преобразования координат, в результате чего родился миф об условии Пуанкаре о существовании группы в множестве преобразований координат между ИСО.

Например, вот что пишут А.А.Тяпкин и А.С.Шибанов в книге "Пуанкаре"[3, Глава 11. Рождение теории относительности]: "Пуанкаре первым заметил, что любые преобразования, связывающие пространственно-временные координаты инерциальных систем отсчёта, должны образовывать группу. В противном случае эти преобразования приводили бы к несамосогласующимся, неоднозначным результатам. До него это обстоятельство не было уяснено, и в физике обсуждались порой преобразования, не удовлетворяющие столь очевидному теперь требованию. Преобразования Лоренца, как показал Пуанкаре, соответствовали этому обязательному условию.".

Здесь вывод Пуанкаре для преобразований Лоренца выступает уже в качестве "требования " для всех преобразований. Но хуже всего, что это "требование" использовалось и используется как критерий отбраковки других возможных преобразований, а вместе с ними - отбраковки других теорий.

Поскольку очевидно, что доказательство этого "требования" Пуанкаре не дал, то делаются попытки обосновать его для произвольных преобразований. Вот что пишет А.А. Тяпкин в своей книге "Об истории возникновения "теории относительности" " [4], комментируя это "требование" Пуанкаре:

"Возьмём, к примеру, выдвинутое Пуанкаре, казалось бы, чисто математическое требование к пространственно-временным преобразованиям обязательно обладать всеми свойствами математической группы. Ведь это требование равносильно требованию однозначности приписываемых в различных инерциальных системах значений координат одному и тому же событию. Любой новый способ арифметизации координат событий (выбор масштабов линеек и циферблатов) должен удовлетворять прежде всего этому требованию однозначности приписываемых координат⁴³, иначе говоря – обладать свойствами внутренней непротиворечивости в такой же мере, как им обладал старый метод арифметизации, лежащий в основе группы Галилея.

Палермская статья Пуанкаре представляла собой обширный математический трактат, содержащий строгое построение новой физической теории. После этой работы в основном завершилось построение новой механики околосветовых скоростей как теоретической дисциплины. Развитые в этой работе математические построения, о которых мы говорили в начале этого раздела настоящей статьи, сопровождались глубоким пониманием самого существа решаемой физической проблемы. Так, новые преобразования пространственно-временных координат он с самого начала связывал с невозможностью обнаружения абсолютного движения Земли и затем привел строгое и самое общее доказательство инвариантности уравнений электродинамики относительно группы Лоренца. Причем математическое свойство инвариантности уравнений он связывал непосредственно с требованием физического принципа относительности.

-----------------------

⁴³ Преобразования устанавливают математическую взаимосвязь между координатами одного события, определенными в разных инерциальных системах отсчёта по единой принятой процедуре. По известным координатам события в одной системе отсчёта, принятой, например, за исходную систему К₀(х,у,z,t), мы с помощью преобразований можем определить координаты того же события в любой другой инерциальной системе при известной скорости ее движения относительно исходной системы К₀. Пусть мы нашли таким образом координаты того же события сразу в двух системах отсчёта К₁( х₁,у₁,z₁,t₁) и К₂ (х₂,у₂,z₂,t₂). Но те же преобразования мы можем использовать, взяв за исходную основу, например, координаты х₁,у₁,z₁,t₁ системы К₁, и по ним вычислить координаты события в системах К₀ и К₂. Но вновь полученные координаты совпадут с прежними х,у,z,t для системы К₀ и х₂,у₂,z₂,t₂ для системы К₂ только в том случае, если используемые преобразования координат образуют группу. В противном случае ни о каком использовании преобразований координат для точного описания физических явлений и корректного сравнения этого описания с опытом не может быть и речи. Так что вопрос о групповых свойствах математических преобразований координат имеет самое прямое отношение и к теоретической, и к экспериментальной физике. Сейчас нам кажется очевидным предъявляемое к преобразованиям требование однозначности вводимых координат события, а до Пуанкаре известные физики Фойгт и Лоренц вводили не образующие группу, приближенные преобразования, не замечая внутренней противоречивости. "

Однако А.А. Тяпкин ошибался в этом выводе. Требование выполнения свойств группы не следует из требования однозначности координат, приписываемых одному и тому же событию в различных инерциальных системах, и следует из свойств принципа относительности Пуанкаре (из которого, очевидно, вытекает и принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства максимальной скорости распространения взаимодействия вещества. Разве только в теориях, использующих принцип относительности, координаты событий однозначны? В предлагаемой статье показано, что могут быть теории, не основанные на точном выполнении принципа относительности, координаты событий в них однозначны, однако для них условие существования группы преобразований может оказаться невыполненным. А в сноске 43 (в цитате А.А. Тяпкина) имеется уже другая логическая ошибка: здесь требование однозначности определения координат заменено условием, что пересчёт координат последовательно между К₀ , К₁ и К₂ эквивалентен непосредственному пересчёту координат между К₀ и К₂ . Однако такое условие последовательной композиции может быть выполнено и для преобразования, не составляющего группу (следовательно, существование группы их него не следует), а на самом деле для группы требуется более сильной свойство замкнутости операции.

В целях рассмотрения отличия свойства замкнутости операции от свойств последовательной композиции воспользуемся таким определением группы (приведенном в "Справочнике" Корна[6]), в котором явно указано условие замкнутости операции (современное определение группы несколько иное, хотя и эквивалентное):

Def.1. Класс G объектов (элементов) g, i, j,... называется группой, если определена бинарная операция «*», которая каждой паре g,i класса G ставит в соответствие некоторый объект (результат операции) g*i так, что:
1) g*i ∈ G (замкнутость по отношению к определяющей операции);
2) ∀ g,i,j∈G выполняется ассоциативный закон: (g*i)*j=g*(i*j);
3) ∃ (левая) единица E∈G такая, что ∀ g∈G выполнено: E*g=g;
4) ∀ g∈G ∃ (левый) обратный элемент g^-1∈G : g^-1*g=E. [6, с.371]

Там же в [6]приведены два следствия: Группа G имеет единственную левую и единственную правую единицу, и эти единицы равны (E*g=g*E=g). Каждый элемент g имеет единственный левый и единственный правый обратный элемент, и эти элементы равны (g^-1*g=g*g^-1=E).[6, с.371]

(Здесь использованы принятые в Справочнике [6] обозначения: ∀ - для любого, ∃ - существует, ∈ - принадлежит, ":" - такое(такая/такой/такие), что выполняется .)

Однако оказывается, что описать в терминах группы вышеупомянутое условие последовательной композиции невозможно, так как в определении группы отсутствует какая бы то ни была связь с ИСО.

3. Свойства множества преобразований координат; определение чепа

Рассмотрим, как строится множество преобразований координат. Для этого необходимо иметь множество систем отсчёта, в которых задаются координаты произвольных событий, эти системы отсчёта движутся относительно друг друга с некоторыми скоростями, и в то же время они движутся с однозначно определёнными скоростями в некоторой одной системе отсчёта. Затем для каждой пары систем отсчёта определяется преобразование, которое записывается в некотором виде: система уравнений, таблица, матрица, оператор и т.п. Все преобразования объединяются в множество G без повторов, это означает, что если для двух пар систем отсчёта записи их преобразований совпадают, то в G попадает только одно из них. Заметим, что преобразование - это элемент множества G, но не операция на нём. Затем на множестве преобразований определяется операция произведения, например, если преобразования описываются матрицами, то операцией на G является матричное произведение.

Множество преобразований координат имеет особенности, отличающие этот класс множеств:
1. Каждое преобразование переводит элементы какого-то исходного множества в элементы результирующего множества. Следовательно, любое преобразование может каким-то образом зависеть от исходного и/или результирующего элементов (нелинейное преобразование), или может каким-то образом зависеть от характеристик (параметров) исходного и результирующего множеств (например, от относительной скорости ИСО₂ в ИСО₁, или в случае преобразований И'гла(см. §4.) - от скоростей обеих ИСО в АСО), в этом смысле можно говорить об одно- и двухпараметрических преобразованиях. Следовательно, множество преобразований не может быть определено без множества пар множеств преобразуемых элементов, и без отображения этого множества пар в множество преобразований.
2. Одна пара исходного и результирующего множеств элементов обязательно соответствует одному и только одному преобразованию.
3. Одному преобразованию может соответствовать одна пара или несколько разных пар исходных и результирующих множеств элементов.
4. Существует единичное преобразование, переводящее элемент любого множества сам в себя.
5. Могут существовать обратные преобразования, переводящие элементы результирующего множества в элементы исходного.
6. Если преобразования таковы, что элементы результирующего множества будут исходными для обратного или какого-либо другого преобразования, то множество преобразований будет содержать последовательную композицию преобразований - такую цепь последовательных преобразований, когда результирующий элемент, полученный после (N-1)-го преобразования, является исходным для N-го преобразования.
7. Определяемая на множестве преобразований бинарная операция должна включать в себя композицию любых двух последовательных преобразований, то есть, цепь преобразований является преобразованием того же типа.
8. Операция может быть не определена для двух преобразований, действующих на произвольные элементы двух разных заданных исходных множеств, или результат операции может не принадлежать заданному множеству преобразований.
9. Операция может быть определена (но не обязательно) в случае формальной замены одного преобразования другим, равным ему, предназначенным для преобразования в качестве исходного именно результирующего элемента предшествующей в цепочке операции. А именно, если некоторое невырожденное преобразование должно любой точке (с координатами (t,x,y,z)) исходного множества K ставить в соответствие точку (с координатами (t',x',y',z')) результирующего множества K', то для следующего в цепочке преобразования можно брать не точку (t'',x'',y'',z'') из заданного K'', а равную ей точку (t',x',y',z') из K' : (t',x',y',z')= (t'',x'',y'',z'') .

Часть из указанных свойств может относиться к группе, часть - нет, следовательно, для описания этих свойств необходимо ввести некоторую специализированную структуру. Оказалось, что для этого достаточно взять двухосновную алгебру с бинарной операцией, определенной в соответствии с основным свойством множества преобразований (цепь преобразований является преобразованием того же типа), и назовем такую структуру - "чеп" (от старорусского - цепь, сцепка, зацеп; слово "чеп" склоняется так же, как слово "серп"), с учетом того, что непосредственно сам термин "цепь" уже задействован в алгебре.

Def.2. Структура из 4 элементов Ch=(G,M,*,φ) называется «чеп», если:
- Для множеств G, M и соответствия φ множества пар a,b ∈ M на множество G выполнено:
   d.2.1. ∃ e∈G : ∀ b∈M φ(b,b)=e.
   d.2.2. ∀ g∈G ∃ a,b∈M : φ(a,b)=g и ∀ a,b∈M ∃ единственный g∈G : φ(a,b)=g.
- На множестве G задана бинарная операция «*» со свойством:
   d.2.3. ∀ a,b,c∈M : φ(a,b)*φ(b,c)=φ(a,c) - последовательная композиция элементов G.

Множество M называется ассоциированным с множеством G.

Это определение не вписывается в известное определение "частичное действие группы на некотором множестве", накладывающее условие на G быть группой, а в определении чепа множество G может группой не быть. Поэтому определение чепа более общее, чем определение действия группы на множестве.

Из определения чепа выведем 3 следствия:

1. ∃ e∈G ∀ g∈G : e*g=g*e=g. Это следствие соответствует условию существования единицы в определении группы.

Для доказательства этого возьмём любой элемент g из G (по условию d.2.2 его можно записать в виде g=φ(a,b) для некоторых элементов a,b из M) и элемент e из d.2.1. (его можно записать в виде φ(b,b)=φ(a,a)=e). По условию d.2.3. произведение этих элементов e*g=φ(a,a)*φ(a,b)=φ(a,b)=g и g*e=φ(a,b)*φ(b,b)=φ(a,b)=g оказывается равным g.

Доказательство единственности единицы сделаем от противного - предположим существование другой единицы e': e'≠e, и рассмотрим произведение e'*e. По предположению e'*e=e, а по Следствию 1. e'*e=e', то есть, e'=e.

2. ∀ g∈G ∃ k∈G : k*g=g*k=e. Это следствие соответствует условию существования обратного элемента в определении группы.

Для доказательства этого возьмём любой элемент g из G (по условию d.2.2 его можно записать в виде g=φ(a,b) для некоторых элементов a,b из M), в качестве обратного - элемент k=φ(b,a). По условию d.2.2. такой элемент принадлежит G, а произведение этих элементов k*g=φ(b,a)*φ(a,b)=φ(b,b)=e и g*k=φ(a,b)*φ(b,a)=φ(a,a)=e оказывается равным e по условиям d.2.3. и d.2.1.

3. Для любых 4 элементов a,b,c,d из M выполняется: φ(a,b)* (φ(b,c)* φ(с,d))= (φ(a,b)* φ(b,c))* φ(с,d). Это следствие соответствует условию ассоциативности операции в определении группы, но не для всех элементов из G, а только для образов пар, составляющих цепочку в M. (Причем порядок выполнения операций в заданной цепочке несущественен в силу d.2.3.) Это – условие ограниченной ассоциативности в множестве G. То есть, G в чеп – шире понятия группы.

Для описания свойств преобразований координат достаточно свойств чепа. Отметим, что в чепе операция над преобразованиями не рассматривается в случае несовпадения ИСО - результата предыдущего преобразования и ИСО - исходного для следующего преобразования в цепочке их композиции. Поэтому все свойства операции вне цепочек при необходимости могут определяться достаточно произвольно, в частности, чтобы операция оказалась замкнутой. Но такое доопределение операции "*" является дополнительным и необязательным для преобразований условием.

Существование и внутренняя непротиворечивость предлагаемого определения чепа следует из возможности описания с его помощью группы преобразований Лоренца.

Рассмотрим возможность математического описания требований, предъявляемых к множеству преобразований, на примере цитаты из "Лекций…" Л.И. Мандельштама:" ... Представьте себе, что у нас имеются три координатные системы К, К' и К" и мы хотим найти зависимость координат х" от координат х. Мы можем сначала найти, как зависят х от х', потом — как зависят х' от х", и, наконец, найдем зависимость х от х". Это первый путь, совершенно законный. Но, с другой стороны, мы можем не учитывать, что имеется система К', она может нас не интересовать. Если есть только две движущиеся друг относительно друга системы К и К", то принцип относительности дает возможность найти х" сразу как функцию от х. Представьте себе теперь, что преобразования не образуют группы. Тогда по первому способу мы нашли бы зависимость х" от х, которая не соответствовала бы тому, что мы получили во втором случае. Совокупность преобразований позволяет переходить от любого преобразования к любому. Если я к третьему преобразованию перешел при помощи промежуточного и получил бы преобразование, которое не относится к совокупности, т. е. не выражает перехода от одной движущейся системы к другой, то я нашел бы некоторую зависимость между координатами х" и х, но это не была бы зависимость координат одной движущейся системы от координат другой, а ведь мы должны были бы получить такую зависимость. Значит, все наше построение было бы непоследовательным, нам запрещалось бы сравнивать сначала х и х', а затем х' и х". Не было бы транзитивных соотношений, которые позволяют нам строить всю нашу концепцию, и эта концепция обладала бы провалом, который, быть может, и можно было бы как-то исправить, но совершенно не видно как. Вы видите, что и из физических соображений нужно требовать, чтобы совокупность преобразований теории относительности составляла группу. Это все-таки удивительно (или не удивительно, смотря по тому, как на это смотреть): получая лоренцовы преобразования, мы вовсе не заботились о том, будут ли они группой."[2,с.265]

Теперь сравним свойство замкнутости операции в группе и требуемое в этой цитате свойство последовательной композиции: Обозначив M - множество систем отсчёта, G – множество преобразований, получаем:
- ∀ a,b,c∈ M : φ(a,b)*φ(b,c)=φ(a,c) - последовательная композиция элементов φ(a,b) и φ(b,c) из G;
- ∀ g,i ∈G : g*i ∈G - замкнутость операции в группе.

Чтобы более очевидной стала разница этих двух условий, перепишем свойство замкнутости группы в терминах чепа:
∀ a,b,c,d∈M ∃ e,f∈M : φ(a,b)*φ(c,d)=φ(e,f). Очевидно, что эти условия разные (так как отличаются даже по числу задействованных элементов из M) и не эквивалентные (так как последовательная композиция определена на меньшем числе элементов, чем условие замкнутости).

Поэтому в этой цитате имеются две логические ошибки: Во-первых, рассуждения ведутся с позиции общетеоретических требований выполнения последовательной композиции преобразований (упоминание принципа относительности не отменяет общности, поскольку не вносит в данные рассуждения каких-либо конкретных ограничений), однако из выполнения последовательной композиции не может следовать, как показано выше, групповое свойство замкнутости операции, если отсутствуют некоторые специальные дополнительные условия; во-вторых, оказывается, что из приведённых рассуждений в цитате нельзя увидеть необходимость требований, названных в [2] "физическими", что противоречит утверждению в последнем абзаце цитаты: "Вы видите, что и из физических соображений нужно требовать, чтобы совокупность преобразований теории относительности составляла группу", даже несмотря на то, что действительно "совокупность преобразований теории относительности составляла группу".

Кроме того, в этой цитате имеется неверное использование термина "Транзитивность". Во-первых, в определении группы нет такого термина, следовательно, для обоснования группы его бесполезно использовать. Во-вторых, очевидно, что в [2] говорится об отношении между тремя элементами (требующимися для постороения транзитивности) множества M, а не множества G, в котором делается попытка обосновать свойства группы.

Таким образом, все попытки аргументировать требование свойств группы из каких-то общих соображений оказались неверными. Далее рассмотрим "физичное" преобразование координат, в том смысле, что оно основано на физических постулатах и процедуре синхронизации.

4. Преобразования координат в линейном пространстве

Чтобы было с чем сравнивать свойства группы преобразований Лоренца, возьмём некоторое другое множество преобразований. Для этого введем определения абсолютного линейного пространства, систем отсчёта в нем, а также преобразований координат между системами отсчёта.

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R³={x,y,z}, в нем можно выбрать прямоугольную декартову систему координат с евклидовой метрикой. Построим произведение одномерного времени R¹={t} и R³. Добавив к этой ранее выбранной системе координат любой вектор с ненулевой величиной t₀, получим новую систему отсчёта (СО), которую назовем выделенной или абсолютной (АСО), а пространство R⁴ =R¹xR³ назовем абсолютным пространством или Абсолютом.

Здесь выполняются свойства: однородность пространства и времени, т.е. независимость свойств пространства R³ и времени T от выбора начальной точки отсчёта (начала координат R³ и начала отсчёта времени); изотропия пространства R³, т.е. все пространственные направления равноправны.

Инерциальной системой отсчёта (ИСО) назовем систему, начало отсчёта которой двигается в АСО с постоянной скоростью v, и базисные вектора которой не изменяют в АСО свою длину и направление. Очевидно, что АСО является ИСО со скоростью v=0. Координаты событий в АСО и координаты событий в ИСО заданы однозначно. Координаты точек в ИСО называются относительными координатами, движение точек в ИСО называется относительным движением. Очевидно, что так определенные ИСО обладают свойствами: любая ИСО₁, определенная в АСО, обладает такими же свойствами в любой ИСО₂ (начало отсчёта ИСО₁ двигается в ИСО₂ с некоторой постоянной скоростью v₁₂, и базисные вектора ИСО₁ не изменяют в ИСО₂ свою длину и направление), то есть, ИСО₁ может называться инерциальной системой отсчёта в любой ИСО₂; любая ИСО₁, определенная в любой ИСО₂, является инерциальной системой отсчёта в АСО.

Пусть начало координат ИСО J' перемещается в АСО J со скоростью v, причем в начальный момент t=0 соответствующие оси координат совпадают, а вектор v параллелен оси X АСО. Тогда преобразование A(v) координат (t,x,y,z) АСО любого события в координаты (t',x',y',z') этого же события в ИСО имеет вид:

A(v): t'=t/γ; x'=γ(x-vt); y'=y; z'=z (1)

где γ=γ(v)=1/√1-(v/c)², где c - (в АСО) максимальная скорость распространения взаимодействия вещества. [7,гл.5]

В матричном виде это преобразование записывается: (t',x',y',z')=(t,x,y,z)A(v).

Поскольку для пересчета координат из ИСО₁ в ИСО₂ необходимо их преобразовать сначала из ИСО₁ в АСО, а затем из АСО в ИСО₂, то получаем двухпараметрические преобразования B(v₁,v₂), где v_n - абсолютная скорость движения ИСО_n в АСО:

B(v₁,v₂)=A^-1(v₁)A(v₂) (2)

Соотношения (1) и (2) назовём Преобразованием И'гла (A.Eagle) (ИП)[8]. Он первым опубликовал это преобразование в 1939 году. Позже его переоткрывали Р.Тангерлини[9], С. Маринов[10], Р. ДеВитт[11], Н.Купряев[12], Захарченко[13] и автор этой статьи[7]. Теорию, связанную с этими преобразованиями, называют Теорией Стационарного (Светоносного) Эфира (СЭТ).

Если направление вектора v ИСО J' в АСО произвольно, то существует поворот P(v), после выполнения которого направление оси X совпадет с направлением вектора v. Доопределим P(0)=E. Повернем три пространственные оси АСО на те же углы, и получим новую АСО'. Теперь выберем так оси ИСО J', чтобы в начальный момент t=0 её соответствующие оси координат совпадали с осями АСО'. Тогда преобразования A(v) координат (t,x,y,z) между АСО и (t',x',y',z') ИСО имеют вид :

A(v)=P^-1(v)A(v) (3)

А для пересчета координат из ИСО₁ в ИСО₂ получается общая формула:

B(v₁,v₂)=A^-1(v₁)A(v₂)=A^-1(v₁)P(v₁)P^-1(v₂)A(v₂) (4)

Формулы (3) и (4) являются обобщением формул (1) и (2) на случай ИСО, чьи скорости не обязательно параллельны оси X АСО.

Матрица B(v₁,v₂) имеет сокращенный вид (для координат t и x):

B(v₁,v₂)=	(	γ₁/γ₂	γ₁γ₂(v₁-v₂)	)	(5)
		0	γ₂/γ₁

где γ_n= γ(v_n)>0 , β_n=v_n/c, |β_n|<1. Остальная часть матрицы, состоящая из двух единиц на диагонали и нулей на остальных позициях, от ИСО не зависит.

Физичность теории (и преобразования ИП) следует из физичности ее постулатов и метода синхронизации.[7] Существование системы отсчёта с изотропной ваксимальной скоростью распространения взаимодействия не менее физично, чем в СТО, где эта скорость изотропна во всех ИСО; нулевой результат в вакууме в эксперименте Майкельсона-Морли многократно проверен экспериментально; пронедура синхронизации часов по определению физична.

5. Чеп и множество ИП

Преобразование координат является средством для сравнения описания событий и процессов в разных ИСО. Любое событие в конечном множестве интересующих нас ИСО мы можем рассматривать последовательно, каким-то образом упорядочив и пронумеровав ИСО, и соответственно, использовать последовательно преобразования координат между рассматриваемой и следующей ИСО. (Причём преобразования координат между любыми ИСО цепочки также допустимы). Эта операция является последовательной композицией преобразований.

Посмотрим, каким образом множество линейных преобразований координат вида (4) вписывается в чеп.

В качестве множества преобразований G берем множество B преобразований вида (4). Ассоциированным множеством M является множество M_A инерциальных систем отсчёта в линейном пространстве, бинарной операцией φ - произведение матриц преобразований. Отображение φ() определено на парах ИСО. В силу линейности АСО и ИСО преобразования координат между ними не зависят от самих координат, а только от параметров, характеризующих сами ИСО, - скоростей ИСО в АСО.

Координаты любого события в ИСО задаются координатами этого события в АСО и функциями (3) от v - абсолютной скорости ИСО в АСО. Покажем, что разные параметры v₁,v₂ не могут определять одинаковые координаты, то есть, одинаковые ИСО. Предположим противное, то есть, существуют вектора v₁,v₂ и плоский угол δ между ними (за счет поворота базиса АСО), для которых выполняется : A(v₁)=P(v₁)P^-1(v₂)A(v₂)=P(δ)A(v₂) - за счет совместного поворота векторов v₁,v₂, откуда получаем: t'=t/γ₁=t/γ₂; x'=γ₁(x-v₁t)=γ₂(x*cos δ - y*sin δ - v₂t); y'=y=(x*sin δ + y* cos δ). Очевидно, что отсюда следует δ=0 и v₁=v₂. Поэтому одинаковым параметрам v соответствуют одинаковые ИСО, и одинаковым ИСО - одинаковые v. Заметим, что две ИСО, с разными векторами их абсолютных скоростей - это разные ИСО, даже если они неподвижны относительно друг друга. Таким образом, в отображении φ() можно заменить параметры ИСО₁ и ИСО₂ на их взаимно однозначные характеристики v₁ и v₂, то есть, соответствие
φ(v₁,v₂)=B(v₁,v₂) - задано формулами (3) и (4) от этих параметров.

В единицу множества B отображаются пары одинаковых ИСО, поскольку преобразование ИСО саму в себя координат ИСО не меняет. То есть, выполнено свойство d.2.1. А свойство d.2.2. выполнено в силу задания множества B - в нем нет никаких других элементов, кроме B(v₁,v₂), и все преобразования B(v₁,v₂) содержатся в B.

Очевидно, что свойство d.2.3. о произведении двух последовательных преобразований координат из ИСО₁ в ИСО₂, а затем из ИСО₂ в ИСО₃ выполнено в силу определения φ : B(v₁,v₂)*B(v₂,v₃)=B(v₁,v₃), причем результат произведения является преобразованием координат из ИСО₁ в ИСО₃, то есть, принадлежит B.

Таким образом, множество B преобразований ИП с ассоциированным множеством ИСО M_A, с операцией умножения матриц и с соответствием B(v₁,v₂), заданным формулами (3) и (4), взаимно однозначным для всех пар ИСО с параллельными скоростями движения в АСО (предполагаю, что верно и для всех пар ИСО) для {B\E} и вырожденным для E (то есть, ∀ v : B(v,v)=E), является чепом.

Можно показать двумя путями (см. §9 и Приложение), что множество B преобразований ИП группой не является.

6. Чеп и множество преобразований Лоренца

Легко увидеть [7,гл.7], что если в любой ИСО J' в линейном пространстве сдвинуть показания часов в точке (t',x',y',z') на величину -vx'/c², то в построенной таким образом ИСО I' скорость света станет постоянной, а между произвольными ИСО I и I' будут действовать преобразования Лоренца:

L(v): T'=γ(t-xv/c²); x'=γ(x-vt); y'=y; z'=z (6)

Естественно, при этом АСО не изменится (только назовем ее псевдоАСО и обозначим I ), и интервал ds²=c²dt²-x²-y²-z² станет неизменным в каждой ИСО I'.

Поскольку при пересчете координат из I' в I'' можно их преобразовать сначала из I' в I, а затем из I в I'', то получаем двухпараметрические преобразования L(v₁,v₂), где v_n - скорость движения ИСО_n в I:

L(v₁₂)=L(v₁,v₂)=L^-1(v₁)L(v₂) (7)

Но известно, что преобразования координат между I' и I'' оказываются также преобразованиями Лоренца с параметром v₁₂ - относительной скоростью I'' в I', найденной по формуле релятивистской разности скоростей I'' и I' в I.

Посмотрим, каким образом множество преобразований координат вида (7) вписывается в чеп.

В качестве множества преобразований G берем множество L преобразований вида (7). Ассоциированным множеством M является множество M_L инерциальных систем отсчёта в пространстве Минковского, бинарной операцией - произведение матриц преобразований. Преобразования координат между ИСО не зависят от самих координат, а только от параметров, характеризующих сами ИСО - скоростей ИСО в псевдоАСО I. Отображение φ() определено на парах ИСО.

Из формулы (6) следует, что для заданной псевдоАСО параметр относительной скорости v однозначно определяет координаты событий в ИСО, то есть однозначно определяет ИСО. Покажем, что разные параметры v₁,v₂ не могут определять одинаковые координаты. Предположим противное, тогда будет t'=γ₁(t-v₁x/c²)=γ₂(t-v₂x/c²); x'=γ₁(x-v₁t)=γ₂(x-v₂t). Очевидно, что отсюда следует v₁=v₂. Таким образом, в отображении φ() можно заменить параметры : ИСО₁ и ИСО₂ на их взаимно однозначные характеристики v₁ и v₂, то есть, φ(v₁,v₂)=L(v₁,v₂) - задано формулами (6) и (7) от этих параметров.

Однако из формулы (7) следует, что для любых v₁ и v₂ существует v₁₂ , удовлетворяющее (7), и для любых v₁₂ и v₂ существует v₁ , удовлетворяющее (7), то есть, в элемент L(v₁₂) множества L отображаются все пары (v₁,v₂) из M_L, связанные с v₁₂ релятивистской формулой разности скоростей. И другие пары в этот элемент не отображаются. Другими словами, для любого заданного преобразования L(v) выполнено свойство: ∀ v₁ ∃ v₂ : L(v₁,v₂)=L(v).

В единицу L отображаются одинаковые ИСО, поскольку преобразование ИСО саму в себя координат ИСО не меняет. То есть, выполнено свойство d.2.1. А свойство d.2.2. выполнено в силу задания множества L - в нем нет никаких других элементов, кроме L(v₁,v₂), и все преобразования L(v₁,v₂) содержатся в L.

Очевидно, что свойство d.2.3. о произведении двух последовательных преобразований координат из ИСО₁ в ИСО₂, а затем из ИСО₂ в ИСО₃ выполнен в силу определения φ : L(v₁,v₂)*L(v₂,v₃)=L(v₁₂)L(v₂₃)=L(v₁₃)=L(v₁,v₃), причем результат произведения является преобразованием координат из ИСО₁ в ИСО₃, то есть, принадлежит L.

Таким образом, множество L преобразований Лоренца с ассоциированным множеством ИСО M_L, с операцией умножения матриц и с соответствием L(v₁₂), заданным формулами (6) и (7), является чепом.

Для любого преобразования L(v) из L выполнено: в элемент L(v) отображаются все пары (v₁,v₂), связанные с v релятивистской формулой разности скоростей, а другие пары в этот элемент не отображаются.

Как же решается в L проблема умножения L(v₁,v₂)*L(v₃,v₄) при v₃≠v₂? Она решается за счет замены пары (v₃,v₄) на пару (v₂,v₅), где v₅ равна релятивистской сумме v₂ и v₃₄. Обе эти пары находятся в классе пар (0,v₃₄), каждая из пар класса отображается в преобразование L(v₃₄). Это позволяет операцию умножения любых преобразований превратить в композицию последовательных преобразований L(v₁,v₂)*L(v₂,v₅). Поэтому произведение любых преобразований из L принадлежит L: L(v₁,v₂)*L(v₃,v₄)=L(v₁,v₅) . Остальные условия группы выполнены, поскольку L вписывается в чеп. Значит, множество преобразований Лоренца является группой.

7. Критерий группы

Пусть множество G в чепе является группой, то есть, в частности, выполняется: ∀ k,g∈G : k*g∈G. Для преобразований координат это значит, что ∀ a,b∈M : φ(a,b)*g∈G, а поскольку результат преобразования φ(a,b) находится в любой системе отсчёта "b", то это означает, что любое конкретное преобразование g должно быть способным преобразовывать координаты из любой системы. Следовательно, для любого преобразования g из группы G выполнено:

∀ b∈M ∃ d∈M : φ(b,d)=g (8)

Назовем свойство (8) первым свойством относительности, обратив внимание, что у каждого конкретного преобразования Лоренца, заданного некоторым параметром v, имеется это свойство быть примененным к любой ИСО b, и результат преобразования будет в некоторой ИСО d (двигающейся относительно b с этой скоростью v).

В обратную сторону очевидно, что множество G в чепе со свойством (8) является группой, для этого для произвольных k,g∈G рассмотрим их произведение k*g. Заметим, что ∀ k∈G ∃ a,b∈M : φ(a,b)=k, а по свойству (8) ∃ d∈M : φ(b,d)=g. С учетом свойства d.2.3. получаем замкнутость операции: k*g=φ(a,b)*φ(b,d)=φ(a,d)∈G. Также в силу свойства (8) выполнена ассоциативность: m*(k*g)=(m*k)*g=φ(f,a)*φ(a,b)*φ(b,d)=φ(f,d).

Таким образом, первое свойство относительности (8) является эквивалентным критерием существования группы преобразований.

Аналогично доказывается свойство:

∀ b∈M ∃ d∈M : φ(d,b)=g (9)

Очевидно, что в обоих свойствах элемент d должен быть единственным.

8. Принцип относительности и однопараметричность

Рассмотрим произвольную теорию для ИСО в непрерывных пространстве и времени, для нее строим чеп для множества ИСО и множества преобразований. Выбрав некоторую ИСО₀ в качестве основы, мы отметим, что каждая ИСО_a двигается в ИСО₀ с некоторой скоростью v_0a. Очевидно, что два преобразования координат g_0a и g_0b из ИСО₀ в ИСО_a и ИСО_b соответственно, имеющих в ИСО₀ разные скорости v_0a и v_0b, могут отличаться, то есть, g_0a существенно зависит от v_0a. Обозначим: v_ab - относительная скорость ИСО_b в ИСО_a, g_ab - преобразование координат из ИСО_a в ИСО_b. Для указанных преобразований выполнено свойство последовательной композиции : g_0a(v_0a)*g_ab(v_ab)=g_0b(v_0b). Очевидно, что относительная скорость v_ab должна однозначно выражаться через v_0a и v_0b , значит, v_0b выражается через v_0a и v_ab . Подставив выражение v_0b через v_0a и v_ab в формулу g_ab(), получаем такой вид g_ab(v_0a,v_ab), в котором возможна зависимость минимум от одного и максимум от двух параметров.

Преобразование g=φ(a,b) существенно зависит от относительной скорости v_ab, так как из b≠d следует, что v_ab≠v_ad и g(v_0a,v_ab)≠g(v_0a,v_ad). А от скорости v_0a преобразование g=φ(a,b) может не зависеть, если при той же подстановке этот параметр аннулируется, как это происходит в Преобразованиях Лоренца. (Далее в число существенных параметров обязательно будет входить относительная скорость тех ИСО, между которыми рассматривается преобразование.)

Пусть множество преобразований G является группой, значит, выполнено условие (8): ∀ g ∀ b∈M ∃ d∈M : φ(b,d)=g=g(v_0b,v_bd), в частности, для ИСО₀ существует ИСО_a : φ(0,a)=g()=g(0,v_0a), следовательно, для таких пар b и d можно записать φ(b,d)=g=g(0,v_0a). Это соотношение означает, что преобразование g зависит только от одного параметра - скорости, а поскольку выше показано, что преобразование g между ИСО_b и ИСО_d существенно зависит от относительной скорости v_bd, то получаем для группы второе свойство относительности - однопарамеричность:

∀ b,d∈M : φ(b,d)=g(v_bd) (10)

где g() может существенно зависеть только от одного параметра v_bd - относительной скорости ИСО_d в ИСО_b.

Рассмотрим для группы G множество относительных скоростей V_G., построенное из относительных скоростей между всеми упорядоченными парами ИСО_b и ИСО_d . Поскольку для каждой скорости v имеется свое преобразование g(v), а согласно (8), это преобразование применимо к любому b, то получаем дополнительное свойство:

∀ v∈V_G ∀ b∈M ∃ d∈M : φ(d,b)=g(v) (11)

Отсюда следует, что если в V_G существует конечное ограничение на величину скорости, то это ограничение должно быть одинаковым в каждой ИСО. Таким образом, из свойств группы следует постоянство конечной предельной скорости для всех ИСО.

Построим доказательство свойств группы для множества G в чепе, имеющего свойство (11).

Из построения множества относительных скоростей V_G получается, что относительные скорости рассматривается между всеми парами ИСО из M, но между этими же парами ИСО существуют преобразования, следовательно, имеем однозначное отображение V_G на G. И тогда первое условие (∀ v∈V_G) в (11) можно заменить на условие (∀ g∈G), тем самым, получаем выполнение критерия группы (8), то есть, из (11) следует свойство группы.

Возможно, свойство (11) слишком сильное, и в дальнейшем можно попытаться доказать только из свойства (10), что множество однопараметрических преобразований образует группу.

Таким образом, понятия: принцип относительности Эйнштейна, принцип относительности Пуанкаре, группа преобразований, однопараметричность, постоянство предельной конечной скорости во всех ИСО - связаны друг с другом, но отсюда никак не следует, что не может существовать преобразований, не составляющих группу.

9. Множество ИП - не группа

Выразив v₂ в формуле (5) через параметры v₁ и v₁₂, легко увидеть, что преобразование B(v₁,v₂) существенно зависит от двух параметров. Следовательно, согласно свойству (10), множество преобразований ИП не является группой.

Можно факт отсутствия замкнутости операции в множестве ИП доказать непосредственно (см. Приложение). Проверка показывает, что, например, произведение B(0,-с/2)B(0,+с/2) не представимо в виде A(v₅)^-1A(v₆), то есть, не принадлежит множеству преобразований ИП.

Таким образом, данное в книге С.Маринова "Eppur si muove"[10] доказательство существования группы ИП не может быть верным.

10. Выводы

1. Не существует "требования" Пуанкаре о выполнении свойств группы в множестве любых преобразований координат между инерциальными системами отсчёта.

2. Множество преобразований координат не обязано быть группой. В частности, не является группой множество преобразований координат (2).

3. Дано определение двухосновной алгебраической структуры "чеп", свойств которого достаточно для работы с преобразованиями координат. В чеп вписывается и преобразования Лоренца, и ИП (2).

4. Множество преобразований G является группой тогда и только тогда, когда в чепе, соответствующем G, выполнены свойства относительности (8) или (11).

5. В группе преобразований все преобразования обязаны зависеть только от относительной скорости между ИСО.

Сейчас становится очевидным, что предъявляемое к преобразованиям координат требование образовывать группу - чрезмерное, и в общем случае - неверное.

Литература
1. Poincare H. Sur la dynamique de l'electron. - Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, v.21, p.129-175 (received July 23, 1905, published in January 1906). (На русском яз. см. А.Пуанкаре, Набранные труды, т.З — М.:Наука, 1974, с.433, а также "Принцип относительности", Сборник работ классиков релятивизма. Под редакцией В.К. Фредерикса и В.В. Иваненко. ОНТИ. Ленинград 1935 г. Стр. 48-129. http://ivanik3.narod.ru/TO/AESborniky/1935/048-129PUANKARE.pdf).
2. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, М.:Наука, 1972
3. Тяпкин А.А., Шибанов А.С. "Пуанкаре", серия ЖЗЛ, Изд.2. 1982. http://bourabai.narod.ru/poincare/index.htm Глава 11. Рождение теории относительности, Глубокое теоретическое построение http://bourabai.georisk.kz/poincare/building.htm
4. Тяпкин А.А. Об истории возникновения "теории относительности". 2-е изд., испр. - Дубна: ОИЯИ, 2004, I5ВN 5-9530-0068-5, ПАЛЕРМСКАЯ СТАТЬЯ ПУАНКАРЕ, ч.4., http://bourabai.georisk.kz/tyapkin/history8.htm
5. Малыкин Г.Б., Паралоренцевские преобразования, УФН, т.179, №3 (Март 2009 г.), http://ufn.ru/ufn09/ufn09_3/Russian/r093e.pdf
6. Корн Г.,Корн Т. Справочник математики. Наука,М.,1974.
7. Чепик А.М., «Абсолют. Основные понятия», ж. "Актуальные проблемы статистической радиофизики", 2007, т.6, с.111-134
http://www.mptalam.org/a200709.html, http://www.mptalam.org/200709.pdf ( на сайте автора http://redshift0.narod.ru/Rus/Stationary/Absolute/Absolute_Principles_3_3.htm).
8. Eagle A. Phil.Mag., 1938, vol. 26, 410; Phil.Mag., 1939, vol. 28, 592; Phil. Mag., 1939, vol. 28, 694.
9. Tangherlini F.R. "The velocity of light in uniformly moving frame", PhD Thesis (Stanford: Stanford Univ., 1958) (Второе открытие ИП) and Tangherlini F.R. Suppl. Nuovo Cimento 20 1 (1961)
10. Marinov S. Eppur si muove (East-West, Graz, 1987), first ed. 1977
(http://www.ptep-online.com/index_files/books_files/marinov1987.pdf)
11. Cahill R., The Roland De Witte 1991 Experiment (to the Memory of Roland De Witte), http://www.ptep-online.com/index_files/2006/PP-06-11.PDF
12. Купряев Н.В. Изв. вузов. Физика №7, 8 (1999). (http://sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/7521.html)
13. Обухов Ю.А.,Захарченко И.И. Светоносный эфир и нарушение принципа относительности. Физическая мысль России, №3, 2001, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова. (http://rusnauka.narod.ru/lib/author/obuhov_yu_a/1/, (http://www.c.dol.ru/index1.htm)

- - - - - - -
The coordinate's transformation set and criteria of group

Alexander M. Chepick, Nizhni Novgorod, Russia

e-mail: redshift0@narod.ru

Abstract

The main conclusion of the article : the demand made to transformations of coordinates to form group is excessive, and in common case is untrue.
In this article a definition of algebraic structure "chep" is offered; it is proved, that set of transformations of coordinates between inertial systems of reference in Absolute space (ET) is not a group; in chep are included and ET, and Lorentz's transformations; the set of transformations G is group then and only then when in a chep, corresponding to G, the property of a relativity is executed; one-parametricity is proved for a group of transformations.

Key words: transformation set - chep - group - criteria of group - property of a relativity

PACS: 02.10.-v, 03.30.+p

= = = = = = = = =

Приложение : Множество ИП не является группой

Рассмотрим множество B, которое содержит все преобразования вида B(v₁,v₂)=A^-1(v₁)A(v₂), и только их, v_n - абсолютная скорость ИСО_n в АСО, |v_n|<c. Покажем, что B не является группой. Тем самым будет показано, что требование Пуанкаре выполнения свойств группы не зависит от требования однозначности приписываемых в различных инерциальных системах значений координат одному и тому же событию.

Заметим, что преобразования B(v₁,v₂) -линейные, и поэтому композиция последовательных преобразований (t',x',y',z')=(t,x,y,z)B(v₁,v₂) и (t",x",y",z")=(t',x',y',z')B(v₂,v₃), записываемая в виде (t",x",y",z")=((t,x,y,z)B(v₁,v₂))B(v₂,v₃)=(t,x,y,z)(B(v₁,v₂)B(v₂,v₃)), является произведением матриц B(v₁,v₂)B(v₂,v₃). Таким образом, операцией на множестве B преобразований координат может быть только операция умножения матриц.

Сначала рассмотрим случай скоростей, параллельных оси X АСО.

Произведение матриц B(v₁,v₂)B(v₃,v₄) имеет (см.(5)) сокращенный вид:

B(v₁,v₂)B(v₃,v₄) =	(	γ₁γ₃/(γ₂γ₄)	γ₁γ₃γ₄(v₃-v₄)/γ₂+γ₁γ₂γ₄(v₁-v₂)/γ₃	)	(12)
		0	γ₂γ₄/(γ₁γ₃)

Ассоциативность. Очевидно, что закон ассоциативности в множестве B выполняется в силу выполнения свойства ассоциативности для матриц, если не рассматривать принадлежность результатов операций множеству B. Причем для цепи последовательных преобразований координат из ИСО₁ в ИСО₂, а затем из ИСО₂ в ИСО₃ можно сразу указать, что получается преобразования координат из ИСО₁ в ИСО₃, то есть, такая цепь принадлежит B:

B(v₁,v₂)*B(v₂,v₃)=A^-1(v₁)A(v₂)A^-1(v₂)A(v₃)=B(v₁,v₃).

Элемент единица. Очевидно, единичная матрица E принадлежит B в силу ее представления E=B(0,0), и является единицей в множестве B: E*B(v₁,v₂)= B(v₁,v₂)*E= B(v₁,v₂). Заметим, что E=B(v,v) для любой допустимой скорости v, но это лишь различная запись E, а как элемент множества B матрица E единственная. Предположим, что в B существует другая правая единица B(v₃,v₄): B(v₁,v₂)=B(v₁,v₂)B(v₃,v₄). Тогда из вида элементов матриц (5) и (12) имеем : γ₁/γ₂=γ₁γ₃/(γ₂γ₄), откуда γ₃=γ₄; и γ₁γ₂(v₁-v₂)=γ₁γ₃γ₄(v₃-v₄)/γ₂+γ₁γ₂γ₄(v₁-v₂)/γ₃, откуда v₃=v₄; а B(v₄,v₄)=E. Следовательно, единицы другого вида нет, кроме E=B(v,v). Аналогично для левой единицы, то есть, показана единственность элемента единицы в множестве B.

Обратный элемент. Преобразование B(v₂,v₁) принадлежит B и является обратным к преобразованию B(v₁,v₂): B(v₂,v₁)*B(v₁,v₂)= A^-1(v₂)A(v₁)A^-1(v₁)A(v₂)=E и B(v₁,v₂)*B(v₂,v₁)=E. Предположим, что в B для B(v₁,v₂) существует правое обратное преобразование B(v₃,v₄): E=B(v₁,v₂)B(v₃,v₄). Очевидно, что обратным к E будет E. Пусть B(v₁,v₂)≠E, то есть, v₂≠v₁. Тогда из совпадения элементов матриц имеем : 1=γ₁γ₃/(γ₂γ₄) и 0=γ₁γ₃γ₄(v₃-v₄)/γ₂+γ₁γ₂γ₄(v₁-v₂)/γ₃, откуда с учетом |β₃|<1 получаем только один возможный корень для β₃: β₃(γ₂²(β₁-β₂))=-1+[(γ₂/γ₁)²+(γ₂²(β₁-β₂))²]^1/2, что соответствует решению: β₃=β₂, то есть, v₃=v₂. Но B(v₁,v₂)B(v₂,v₄)=B(v₁,v₄)=E, следовательно, по свойству представления единицы: v₄=v₁. Значит, нет обратного преобразования другого вида, кроме B(v₂,v₁). Аналогично для левого обратного, то есть, показана единственность обратного преобразования в множестве {B/E}.

Замкнутость операции. Но именно проверка принадлежности результатов операции множеству B показывает, что для произвольных элементов B(v₁,v₂) и B(v₃,v₄) из множества B (как того требует условие 1 в определении группы) произведение B(v₁,v₂)*B(v₃,v₄) может не являться элементом из B, то есть, не для любых v₁,v₂,v₃,v₄ существуют такие величины v₅,v₆ , чтобы выполнялось соотношение:

B(v₅,v₆) =B(v₁,v₂)B(v₃,v₄) (13)

Например, можно показать, что v₅,v₆ не существуют для v₁=v₃=0, v₂=-c/2, v₄=c/2.

Предположим, соотношение (13) выполнено. Записав его в явном виде, получаем систему из 12 неравенств и двух уравнений, где β_n=v_n/c :

γ₅/γ₆=γ₁γ₃/(γ₂γ₄) (14)

γ₅γ₆(β₅-β₆)=γ₁γ₃γ₄(β₃-β₄)/γ₂+γ₁γ₂γ₄(β₁-β₂)/γ₃ (15)

|β_n|<1, γ_n≥1, n=1-6

Покажем, что из-за условия |β₅|<1, |β₆|<1 имеется ограничение на область значений β₁,β₂,β₃,β₄. Для этого явно выразим v₅ и v₆ через β_n.

Подставив в (15) γ₅ из (14): γ₆²(β₅-β₆)=γ₄²(β₃-β₄)+(γ₂γ₄/γ₃)²(β₁-β₂), и обозначив p=(γ₂γ₄/(γ₁γ₃))²>0, q=γ₄²(β₃-β₄)+(γ₂γ₄/γ₃)²(β₁-β₂), получим

γ₅²=γ₆²/p (16)

γ₆²(β₅-β₆)=q (17)

Из (17) выражаем β₅ в явном виде :

β₅=β₆+q(1-β₆²) (18)

Подставим β₅ в (16) и с учетом (1-β₆²)>0 получаем:

(qβ₆-1)²=p+q²

Здесь не может быть решения qβ₆=1+√p+q², так как отсюда следует, что q≠0; но из-за |1+√p+q²|>|q| получаем противоречие с |β₆|<1. Поэтому

β₆q=1-√p+q²

Если q=0, то из (18) получаем β₅=β₆, γ₅=γ₆, из (16) получаем p=1, то есть, B(v₅,v₆)=E, а это, согласно свойству обратного элемента, выполняется только при β₁=β₂, или β₂=β₃ или β₃=β₄.

Пусть далее q≠0. Это выполняется при β₁≠β₂ и β₂≠β₃ и β₃≠β₄. Тогда

β₆=(1-√p+q² )/q (19)

и из (18) получаем

β₅=(√p+q² -p)/q (20)

Из условий |β₅|<1 и |β₆|<1 получаем неравенство

|1-p|<2|q| (21)

При переборе величин β₁,β₂,β₃,β₄ оказалось, что во многих случаях неравенство (21) не выполняется.

Например, рассмотрим случай β₁=β₃=0, β₄=-β₂=β>0. Тогда γ₁=γ₃=1 и γ₂=γ₄=g, p=g⁴>1, q=g⁴β³. Из условия (21) получаем g⁴-1<2g⁴β³ , то есть, β>√3-1. Значит, при любом β : 0<β<√3-1 произведение матриц вида B(0,-cβ)B(0,cβ) не принадлежит B.

Проверка для β=1/2 дает: g²=4/3; p=16/9; q= 2/9; β₆=-1.59 ! β₅=-1.91 ! Это доказывает, что для параллельных скоростей операция на множестве B не замкнута.

Теперь рассмотрим случай ИСО с произвольными направлениями скоростей.

B(v₁,v₂)*B(v₂,v₃)=B(v₁,v₃).

Элемент единица. Очевидно, единичная матрица E принадлежит B в силу ее представления E=B(0,0), и является единицей в множестве B: E*B(v₁,v₂)= B(v₁,v₂)*E= B(v₁,v₂). Заметим, что E=B(v,v) для любой допустимой скорости v, но это лишь различная запись E, а как элемент множества B матрица E единственная. Предположим, что в B существует другая правая единица B(v₃,v₄): B(v₁,v₂)=B(v₁,v₂)B(v₃,v₄). Умножив слева на B(v₂,v₁), получаем E=B(v₃,v₄). Аналогично для левой единицы, то есть, показана единственность элемента единицы в множестве B.

Обратный элемент. Преобразование B(v₂,v₁) принадлежит B и является обратным к преобразованию B(v₁,v₂): B(v₂,v₁)*B(v₁,v₂)=E. Предположим, что в B для B(v₁,v₂) существует правое обратное преобразование B(v₃,v₄): E=B(v₁,v₂)B(v₃,v₄). Пусть B(v₁,v₂)≠E, то есть, v₂≠v₁. Последовательно умножая слева на обратные матрицы, составляющие B(v₁,v₂) (см. (4)), получим B(v₂,v₁)=B(v₃,v₄). Значит, нет обратного преобразования другого вида, кроме B(v₂,v₁). Аналогично для левого обратного, то есть, показана единственность обратного преобразования в множестве {B/E}.

B(v₅,v₆) =B(v₁,v₂)B(v₃,v₄) (22)

Рассмотрим случай, когда v₁,v₂,v₃,v₄ лежат на оси X АСО. Пусть v₅ и v₆ не лежат на оси Х, тогда повернем АСО вокруг оси Х так, чтобы вектор v₅ лежал в плоскости XY АСО.

Теперь из соотношения P^-1(v₆)A(v₆)=P^-1(v₅)A(v₅)B(v₁,v₂)B(v₃,v₄) очевидно, что и вектор v₆ лежит в плоскости XY АСО (справа недиагональные элементы в строке и столбце Z - нулевые). Перенесем налево матрицу поворота P^-1(v₅), а направо перенесем A(v₆), слева получим матрицу поворота P(δ)=P(v₅)P^-1(v₆) в плоскости XY АСО на разность углов δ:

P(δ)=A(v₅)B(v₁,v₂)B(v₃,v₄)A^-1(v₆)

Но в столбце, отвечающем за Y-координаты, получаем sin δ=0, cos δ=1. Тогда P(δ)=E, и равенство (22) для произвольных векторов v₅ и v₆ сводится к равенству (13) для модулей векторов v₅ и v₆, то есть, векторов на оси Х, для которого ранее доказано отсутствие решения для всех v₁,v₂,v₃,v₄ на оси Х.

Таким образом, множество преобразований ИП не является группой.

- - - - - - -
Вверх . Главная страница . Eng

Последняя коррекция 22.05.2008 13:14:18

Хостинг от uCoz