ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТА

Алгебраические вопросы. Существует ли Группа КОЗП?

- - - - - - - -

Q[question].A001.  Действительно ли существует требование Пуанкаре о том, чтобы множество всех преобразований координат между ИСО обладало свойствами группы?

A[anser].A001. Ничего подобного! Это миф.

Первым из ученых, кто обратил внимание на связь преобразований координат и понятия группы, был Анри Пуанкаре. В своей Палермской статье [5], он показал, что Преобразования Лоренца образуют группу, и сделал следующий вывод: "Преобразования, не изменяющие уравнения движения, должны составлять группу, а это может иметь место только при l=1. [5,§7. Квазистационарное движение]")

Здесь условие "не изменяющие уравнения движения" - означает невозможность определения абсолютного движения Земли, то есть, выполнение постулата относительности в формулировке: "невозможность показать опытным путем абсолютное движение земли", которую Пуанкаре дал в этой же статье во Введении. Величина "l" взята из Преобразований Лоренца, которые в статье записаны в виде:
" x'=kl(x+εt); t'= kl(t+εx); y'=ly; z'=lz;  (3) " 
где k=(1-ε²)^-1/2; c=1.[5,§1]; Следовательно, цитируемый вывод Пуанкаре относится только к Преобразованиям Лоренца, которые сами были выведены из условия выполнения уравнений Максвелла в разных инерциальных системах отсчета(ИСО), то есть, инвариантности этих уравнений, что тоже соответствует постулату относительности Пуанкаре.

Однако эту формулировку (о группе) некоторые восприняли в качестве обобщения на все преобразования координат, в результате чего родился миф об условии Пуанкаре о существовании группы в множестве преобразований координат между ИСО.

Например, вот что пишут А.А.Тяпкин и А.С.Шибанов  в книге "Пуанкаре"[Тяпкин А.А., Шибанов А.С. "Пуанкаре" серия ЖЗЛ, Изд.2. 1982.  http://bourabai.narod.ru/poincare/index.htm Глава 11. Рождение теории относительности, Глубокое теоретическое построение http://bourabai.georisk.kz/poincare/building.htm]: "Пуанкаре первым заметил, что любые преобразования, связывающие пространственно-временные координаты инерциальных систем отсчета, должны образовывать группу. В противном случае эти преобразования приводили бы к несамосогласующимся, неоднозначным результатам. До него это обстоятельство не было уяснено, и в физике обсуждались порой преобразования, не удовлетворяющие столь очевидному теперь требованию. Преобразования Лоренца, как показал Пуанкаре, соответствовали этому обязательному условию.".

Здесь вывод Пуанкаре для преобразований Лоренца выступает уже в качестве "требования" для всех преобразований. Но хуже всего, что это "требование" использовалось и используется как критерий отбраковки других возможных преобразований, а вместе с ними - отбраковки других теорий.

Поскольку очевидно, что доказательство этого "требования" Пуанкаре не дал, то делаются попытки обосновать его для произвольных преобразований. Вот что пишет А.А. Тяпкин в своей книге "Об истории возникновения "теории относительности" " [Тяпкин А.А. Об истории возникновения "теории относительности". 2-е изд., испр. - Дубна: ОИЯИ, 2004, I5ВN 5-9530-0068-5, ПАЛЕРМСКАЯ СТАТЬЯ ПУАНКАРЕ, ч.4., http://bourabai.georisk.kz/tyapkin/history8.htm], комментируя это "требование" Пуанкаре:

"Возьмем, к примеру, выдвинутое Пуанкаре, казалось бы, чисто математическое требование к пространственно-временным преобразованиям обязательно обладать всеми свойствами математической группы. Ведь это требование равносильно требованию однозначности приписываемых в различных инерциальных системах значений координат одному и тому же событию. Любой новый способ арифметизации координат событий (выбор масштабов линеек и циферблатов) должен удовлетворять прежде всего этому требованию однозначности приписываемых координат⁴³, иначе говоря – обладать свойствами внутренней непротиворечивости в такой же мере, как им обладал старый метод арифметизации, лежащий в основе группы Галилея.

Палермская статья Пуанкаре представляла собой обширный математический трактат, содержащий строгое построение новой физической теории. После этой работы в основном завершилось построение новой механики околосветовых скоростей как теоретической дисциплины. Развитые в этой работе математические построения, о которых мы говорили в начале этого раздела настоящей статьи, сопровождались глубоким пониманием самого существа решаемой физической проблемы. Так, новые преобразования пространственно-временных координат он с самого начала связывал с невозможностью обнаружения абсолютного движения Земли и затем привел строгое и самое общее доказательство инвариантности уравнений электродинамики относительно группы Лоренца. Причем математическое свойство инвариантности уравнений он связывал непосредственно с требованием физического принципа относительности.

-----------------------

⁴³ Преобразования устанавливают математическую взаимосвязь между координатами одного события, определенными в разных инерциальных системах отсчета по единой принятой процедуре. По известным координатам события в одной системе отсчета, принятой, например, за исходную систему К₀(х,у,z,t), мы с помощью преобразований можем определить координаты того же события в любой другой инерциальной системе при известной скорости ее движения относительно исходной системы К₀. Пусть мы нашли таким образом координаты того же события сразу в двух системах отсчета К₁( х₁,у₁,z₁,t₁) и К₂ (х₂,у₂,z₂,t₂). Но те же преобразования мы можем использовать, взяв за исходную основу, например, координаты х₁,у₁,z₁,t₁ системы К₁, и по ним вычислить координаты события в системах К₀ и К₂. Но вновь полученные координаты совпадут с прежними х,у,z,t для системы К₀ и х₂,у₂,z₂,t₂ для системы К₂ только в том случае, если используемые преобразования координат образуют группу. В противном случае ни о каком использовании преобразований координат для точного описания физических явлений и корректного сравнения этого описания с опытом не может быть и речи. Так что вопрос о групповых свойствах математических преобразований координат имеет самое прямое отношение и к теоретической, и к экспериментальной физике. Сейчас нам кажется очевидным предъявляемое к преобразованиям требование однозначности вводимых координат события, а до Пуанкаре известные физики Фойгт и Лоренц вводили не образующие группу, приближенные преобразования, не замечая внутренней противоречивости. "

К сожалению, А.А. Тяпкин ошибался в этом выводе. Требование выполнения свойств группы не следует из требования однозначности приписываемых в различных инерциальных системах значений координат одному и тому же событию, и следует из свойств принципа относительности Пуанкаре, из которого, очевидно, вытекает и принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства максимальной скорости распространения взаимодействия вещества (для доказательства последнего утверждения нужно рассмотреть две ИСО, повернутые относительно друг друга). Разве только в теориях, использующих принцип относительности, координаты событий однозначны? Могут быть теории, не основанные на точном выполнении принципа относительности, координаты событий в них однозначны, однако для них условие существования группы преобразований может оказаться невыполненным. И в сноске 43 (в цитате А.А. Тяпкина) имеется та же логическая ошибка: здесь требование однозначности определения координат заменено условием выполнения принципа относительности, вывод о необходимости выполнения свойств группы для всех преобразований сделан при условии, что для пересчета координат между К₀ , К₁ и К₂ необходимо и достаточно иметь только относительные скорости этих систем отсчета, то есть, при явном условии выполнения принципа относительности.

На самом же деле, для пересчета координат достаточно выполнения менее сильного свойства преобразований - последовательной композиции.

- - - - - - - -

Q.A002. Что такое "алгебраическая структура чеп"?

A.A002. Для описания свойств преобразований выделим отдельную структуру среди двухосновных алгебр с бинарной операцией, и в соответствии с основным свойством множества преобразований (цепь преобразований является преобразованием того же типа), а также с учетом того, что непосредственно сам термин "цепь" уже задействован в алгебре, назовем такую структуру другим (похожим) термином "чеп" (от старорусского -цепь, сцепка, зацеп; слово "чеп" склоняется так же, как слово "серп"):

Def.2. Структура из 4 элементов Ch=(G,M,*,φ) называется «чеп», если:
-  Для множеств G, M и соответствия  φ множества пар a,b ∈ M на множество G выполнено:
d.2.1. ∃ e∈G : ∀ b∈M φ(b,b)=e.
d.2.2. ∀ g∈G ∃ a,b∈M : φ(a,b)=g и ∀ a,b∈M ∃ g∈G : φ(a,b)=g.
-  На множестве G задана бинарная операция «*» со свойством:
d.2.3. ∀ a,b,c∈M : φ(a,b)*φ(b,c)=φ(a,c).

Множество M называется ассоциированным с множеством G.

Поскольку композиция преобразований не рассматривается в случае несовпадения ИСО - результата предыдущего преобразования, и ИСО - исходного для следующего преобразования в цепочке их композиции, то для описания преобразований координат достаточно свойств чепа.

Существование и внутренняя непротиворечивость предлагаемого определения чепа следует из возможности описания с его помощью группы преобразований Лоренца.

- - - - - - - -

Q.A003. В алгебре существует определение "частичное действие группы на некотором множестве", применяемое и к преобразованиям. Зачем вводить другое определение для того же объекта?

A.A003. Определение чепа не вписывается в известное определение "частичное действие группы на некотором множестве", накладывающее условие на G быть группой, а в определении чепа множество G может группой не быть. Поэтому определение чепа более общее, чем определение действия группы на множестве. 

- - - - - - - -

Q.A004. Какое определение группы вы используете?

A.A004. Воспользуемся определением группы, в котором явно указано условие замкнутости операции (современное определение группы несколько иное, хотя эквивалентное):

Def.1. Класс G объектов (элементов) g, i, j,... называется группой, если определена бинарная операция «*», которая каждой паре g,i класса G ставит в соответствие некоторый объект (результат операции) g*i так, что:
1)  g*i ∈ G (замкнутость по отношению к определяющей операции);
2) ∀ g,i,j∈G выполняется ассоциативный закон: (g*i)*j=g*(i*j);
3) ∃ (левая) единица E∈G такая, что ∀ g∈G выполнено: E*g=g;
4) ∀ g∈G ∃ (левый) обратный элемент g^-1∈G : g^-1*g=E. [9, с.371]

(Здесь использованы принятые в Справочнике Корна обозначения: ∀ - для любого, ∃ - существует, ∈ - принадлежит, ":" - "такое(такой/такие), что".)

Там же приведены следствия:
Группа G имеет единственную левую и единственную правую единицу, и эти единицы равны (E*g=g*E=g). Каждый элемент g имеет единственный левый и единственный правый обратный элемент, и эти элементы равны (g^-1*g=g*g^-1=E). [9, с.371]

- - - - - - - -

Q.A005. Какие совпадения и отличия свойств множества G чепа и свойств группы ?

A.A005. Из определения чепа выведем 3 следствия:

1.  ∃ e∈G ∀ g∈G : e*g=g*e=g. Это следствие совпадает с условием существования единицы в определении группы.

Для доказательства этого возьмем любой элемент g из G (по условию d.2.2 его можно записать в виде g=φ(a,b)  для некоторых элементов a,b из M) и элемент e из d.2.1. (его можно записать в виде  φ(b,b)=φ(a,a)=e).  По условию d.2.3. произведение этих элементов  e*g=φ(a,a)*φ(a,b)=φ(a,b)=g и g*e=φ(a,b)*φ(b,b)=φ(a,b)=g оказывается равным g.

Доказательство единственности единицы сделаем от противного - предположим существование другой единицы e': e'≠e, и рассмотрим произведение e'*e. По предположению e'*e=e, а по Следствию 1. e'*e=e', то есть, e'=e.    

2. ∀ g∈G ∃ k∈G : k*g=g*k=e. Это следствие совпадает с условием существования обратного элемента в определении группы.

Для доказательства этого возьмем любой элемент g из G (по условию d.2.2 его можно записать в виде g=φ(a,b)  для некоторых элементов a,b из M), в качестве обратного - элемент k=φ(b,a).  По условию d.2.2. такой элемент принадлежит G, а произведение этих элементов  k*g=φ(b,a)*φ(a,b)=φ(b,b)=e и g*k=φ(a,b)*φ(b,a)=φ(a,a)=e оказывается равным e по условиям d.2.3. и d.2.1..

3. Для любых 4 элементов a,b,c,d из M выполняется: φ(a,b)* (φ(b,c)* φ(с,d))= (φ(a,b)* φ(b,c))* φ(с,d). Это следствие совпадает с условием ассоциативности операции в определении группы, но не для всех элементов из G, а только для образов пар, составляющих цепочку в M. Причем порядок выполнения операций в цепочке несущественен в силу d.2.3. Это – условие ограниченной ассоциативности в множестве G. То есть, чеп – шире понятия группы.

- - - - - - - -

Q.A006. Какие свойства имеются у множества преобразований координат между ИСО?

A.A006. Множество преобразований координат имеет особенности, отличающие этот класс множеств, в частности: Каждое преобразование переводит элементы какого-то исходного  множества в элементы результирующего множества. Следовательно, любое преобразование может каким-то образом зависеть от исходного и/или результирующего элементов (нелинейное  преобразование), или может каким-то образом зависеть от характеристик (параметров) исходного и результирующего множеств (например, в случае линейных преобразований, - от скоростей ИСО в АСО, или относительной скорости ИСО₂ в ИСО₁), в этом смысле можно говорить о двухпараметрических преобразованиях. Следовательно, множество преобразований не может быть определено без множества пар множеств преобразуемых элементов, и без отображения этого множества пар в множество преобразований.

Множество преобразований координат имеет особенности, отличающие этот класс множеств:
 1. Каждое преобразование переводит элементы какого-то исходного  множества в элементы результирующего множества. Следовательно, любое преобразование может каким-то образом зависеть от исходного и/или результирующего элементов (нелинейное  преобразование), или может каким-то образом зависеть от характеристик (параметров) исходного и результирующего множеств (например, в случае линейных преобразований, - от скоростей ИСО в АСО, или относительной скорости ИСО₂ в ИСО₁), в этом смысле можно говорить об одно- и двухпараметрических преобразованиях. Следовательно, множество преобразований не может быть определено без множества пар множеств преобразуемых элементов, и без отображения этого множества пар в множество преобразований.
 2. Одна пара исходного и результирующего множеств элементов обязательно соответствует одному и только одному преобразованию.
 3. Одному преобразованию может соответствовать одна пара или несколько разных пар исходных и результирующих множеств элементов.
 4. Существует единичное преобразование, переводящее элемент любого множества сам в себя.
 5. Могут существовать обратные преобразования, переводящее элементы результирующего множества в элементы исходного.
 6. Если преобразования таковы, что элементы результирующего множества будут исходными для обратного или какого-либо другого преобразования, то множество преобразований будет содержать последовательную композицию преобразований - такую цепь последовательных преобразований, когда результирующий элемент, полученный после (N-1)-го преобразования, является исходным для N-го преобразования.
 7. Определяемая на множестве преобразований бинарная операция должна включать в себя композицию любых двух последовательных преобразований.
 8. Операция может быть не определена для двух преобразований, действующих на произвольные элементы двух разных заданных исходных множеств, или результат операции может не принадлежать заданному множеству преобразований.
 9. Операция может быть определена (но не обязательно) в случае формальной замены одного преобразования другим, равным ему, предназначенным для преобразования в качестве исходного именно результирующего элемента предшествующей в цепочке операции. Например, невырожденное преобразование должно любой точке (с координатами (t,x,y,z)) исходного множества K ставить в соответствие точку (с координатами (t',x',y',z')) результирующего множества K'. Поэтому для следующего в цепочке преобразования можно брать не точку (t'',x'',y'',z'') из заданного K'', а равную ей точку (t',x',y',z') из  K' : (t',x',y',z')= (t'',x'',y'',z'') .

- - - - - - - -

Q.A007. Определение "чепа" - это такая категория, в которой: класс объектов Ob(A) - это Ваше множество M, для каждой пары (a, b) определено множество морфизмов Mor(a, b), состоящее из одного отображения  φ(a, b) - то есть упорядоченной тройки  φ: a -> b, Ваше множество G - это множество указанных морфизмов Mor(a, b), то есть множество отображений  φ(a, b), бинарная операция "*" -  это закон  композиции   φ(b, c)  х  φ(a, b) -> φ(a, с), при этом все свойства категории выполняются очевидным образом .[Хартиков Сергей, 2007.10.06]

В общем случае Категория - это совокупность из класса объектов Ob(A), множество Mor(A,B) для каждой пары объектов A,B из Ob(A) (его называют множеством морфизмов и понимают как множество из упорядоченных троек вида f: A->B), для всяких трех объектов A, B, C из Ob(A) закон композиции (отображение) Mor(B,C) x Mor(A,B) -> Mor(A,C) со следующими свойствами:
а) два множества Mor(A, B) и Mor(C, D) не пересекаются, кроме случая A=C, B=D;
б) для каждого объекта A из Ob(A) имеется морфизм Id_A из Mor(A, A), который для всех объектов B из Ob(A) действует тождественно слева и справа на элементы множеств Mor(B, A) и Mor(A, B) соответственно;
в) закон композиции ассоциативен (когда он определен), то есть
[Mor(C, D) x Mor(B, C)] x Mor(A, B) = Mor(C, D) x [Mor(B, C) x Mor(A, B)]. (источник - С.Ленг "Алгебра").

A.A007. Нет, эта категория не подходит, так как в чеп нет требования выполнения свойств а). А если G - группа, то оно просто неверно - для любых a,b,с существует d: φ(c,d)= φ(a, b).

Предположим, мы найдем в литературе подходящее определение, в которое вписывается чеп. Но "вписывается" еще не означает "равняется". Более того, не факт, что это найденное определение применяется только для преобразований координат. Значит, чеп - это достаточно узкое определение структуры, поэтому для выделения такой структуры из всех других этой структуре можно присвоить индивидуальное наименование.

И, наконец, совершенно неважно, называл ли кто-нибудь как-нибудь раньше нужную для описания преобразования координат структуру, а важно то, что из определенной так структуры очень просто оказалось вывести критерий существования группы преобразований. Вот это существенно и действительно новое (иначе не было бы требования свойств группы у преобразований координат), а есть ли у примененной структуры какое-то индивидуальное имя - это несущественно.

- - - - - - - -

Q.A008. Определение "чепа" вписывается в алгебраическое понятие - частичный моноид (или частичная группа, если Вы добавляете существование обратного элемента).[Хартиков Сергей, 2007.10.06]

Помимо бинарной операции на множестве S используют еще и определение частичной бинарной операции - это отображение непустого подмножества множества S x S в S (то есть, когда бинарная операция определена не на всем множестве пар S x S). Соответственно, группоиды, полугруппы, моноиды и группы превращаются в частичные группоиды, частичные полугруппы, частичные моноиды и частичные группы. Причем, эта ситуация в алгебре обычно отдельно не выделяется и слово "частичная" часто опускается - ведь смысл почти не изменяется (источник - А.Клиффорд, Г.Престон "Алгебраическая теория полугрупп").

A.A008. Частичной группой является множество G (где обратные преобразования присутствуют) в Def2, но не сам чеп, который является структурой; и именно связь множеств в структуре чеп позволила элементарно просто построить критерий существования группы преобразований.

- - - - - - - -

Q.A009. В случае определения категории С.Ленга объекты включаются в определение, в случае К.Фейса - не включаются, поэтому у К.Фейса нет свойства "а)". Все зависит от того, что понимать под отображением: включать ли в него и пару объектов, для которых оно рассматривается. У Вас тоже объекты не включаются, потому что Вы, фактически, рассматриваете лишь формулы преобразования без объектов (ИСО). [Хартиков Сергей, 2007.10.06]

A.A009.  В таком случае, чеп является частным случаем категории К.Фейса, но не равен ей, поскольку в чепе MOR(A,B) состоит только из одного преобразования, и добавлено требование наличия обратных преобразований.

- - - - - - - -

Q.A010. Откуда следует, что множество B преобразований КОЗП не является группой?

A.A010. Этот факт можно доказать тремя способами:
1. проверить, что не для всех преобразований из B их произведение принадлежит B;
2. проверить, что не выполняется свойство относительности (8);
3. проверить, что преобразования в B не однопараметрические (10).

1. Проверка принадлежности результатов операции множеству B показывает, что для что для произвольного направления скоростей и произвольных элементов B(v₁,v₂) и B(v₃,v₄) из множества B (как того требует условие 1 в определении группы) произведение B(v₁,v₂)*B(v₃,v₄) может не являться элементом из B, то есть, не для любых v₁,v₂,v₃,v₄ существуют такие величины v₅,v₆ , чтобы выполнялось соотношение:

B(v₅,v₆) =B(v₁,v₂)B(v₃,v₄)       (22)      

Рассмотрим случай, когда v₁,v₂,v₃,v₄ лежат на оси X АСО. Пусть v₅ и v₆ не лежат на оси Х, тогда повернем АСО вокруг оси Х так, чтобы вектор v₅ лежал в плоскости XY АСО.

Поскольку по определению B(v₅,v₆)=A^-1(v₅)P(v₅)P^-1(v₆)A(v₆), то теперь из соотношения  P^-1(v₆)A(v₆)=P^-1(v₅)A(v₅)B(v₁,v₂)B(v₃,v₄)  очевидно, что и вектор v₆ лежит в плоскости XY АСО (справа недиагональные элементы в строке и столбце Z - нулевые).

Перенесем налево матрицу поворота P^-1(v₅), а направо перенесем A(v₆), слева получим матрицу поворота P(δ)=P(v₅)P^-1(v₆) в плоскости XY АСО на разность углов  δ:

P(δ)=A(v₅)B(v₁,v₂)B(v₃,v₄)A^-1(v₆)

Но в столбце, отвечающем за Y-координаты, получаем sin δ=0, cos δ=1. Тогда P(δ)=E, и равенство (22) для произвольных векторов  v₅ и v₆ сводится к этому же равенству для модулей векторов v₅ и v₆, то есть, векторов на оси Х. Однако, в этом случае можно показать, что v₅,v₆ не существуют, например, для  v₁=v₃=0, v₂=-c/2, v₄=c/2, так как при этом должно быть v₆=-1.59с и v₅=-1.91с ! Это доказывает, что операция на множестве B не замкнута.

2. Чтобы проверить, что не выполняется свойство относительности ((8) в A011 ), достаточно найти v₁,v₂,v₃ такие, что для любых v₄ не будет выполнено равенство B(v₃,v₄)=B(v₁,v₂). Рассмотрим случай, когда v₁,v₂,v₃ лежат на оси X АСО. Попробуем найти те значения  v₄, которые все-таки удовлетворяют указанному равенству. Такие v₄ должны лежать на оси X АСО, и для них выполняются соотношения:  γ₁/γ₂=γ₃/γ₄ и  γ₁γ₂(v₁-v₂)=γ₃γ₄(v₃-v₄), откуда  v₄=v₃-γ₁²(v₁-v₂)/γ₃². В частности, для  v₃=0, v₂=-c/2, v₁=c/2, получим v₄<-c. Этим доказано, что для этих v₁,v₂,v₃ и любых v₄ равенство B(v₃,v₄)=B(v₁,v₂) не будет выполнено.  То есть, не выполнено свойство (8).

3. Чтобы проверить, что преобразования в B не однопараметрические ((10) в A012 ), выразим для векторов скоростей, параллельных оси Х АСО, элементы матрицы B(v₁,v₂) через относительную скорость v₁₂ и абсолютную скорость v₁. Достаточно рассмотреть элемент  γ₁/γ₂ .  Используя формулу (24) в [3]: v₂=v₁+v₁₂/γ²(v₁) - для относительной скорости, получаем соотношение: (γ₁/γ₂)²=(1-(v₂/c)²)/(1-(v₁/c)²)=(1-v₁v₁₂/c²)²-(v₁₂/c)², в котором очевидна существенная зависимость от двух параметров. То есть свойство (10) не выполнено.

Таким образом, множество преобразований КОЗП - не группа. 

- - - - - - - -

К началу      <<---    Темы    Вопросы    --->> 

Главная страница                                  Eng

Последняя коррекция 09.04.2009 18:14:18

Хостинг от uCoz