ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТА

Алгебраические вопросы. Критерий группы преобразований

- - - - - - - -

Q.A011. Как выводится критерий существования группы?

A.A011. Пусть множество G в чепе является группой, то есть, в частности, выполняется: ∀ k,g∈G : k*g∈G. Для преобразований координат это значит, что ∀ a,b∈M : φ(a,b)*g∈G, а поскольку результат преобразования  φ(a,b) находится в любой системе отсчета "b", то это означает, что любое конкретное преобразование g должно быть способным преобразовывать координаты из любой системы. Следовательно, для любого преобразования g из группы G выполнено:

∀ b∈M ∃ d∈M : φ(b,d)=g         (8)

Назовем свойство (8) первым свойством относительности, обратив внимание, что у каждого конкретного преобразования Лоренца, заданного некоторым параметром v, имеется это свойство быть примененным к любой ИСО b, и результат преобразования будет в некоторой ИСО d (двигающейся относительно b с этой скоростью v).

В обратную сторону очевидно, что множество G в чепе со свойством (8) является группой, для этого для произвольных k,g∈G рассмотрим их произведение k*g. Заметим, что ∀ k∈G ∃ a,b∈M : φ(a,b)=k, а по свойству (8)  ∃ d∈M : φ(b,d)=g. С учетом свойства d.2.3. получаем замкнутость операции: k*g=φ(a,b)*φ(b,d)=φ(a,d)∈G. Также в силу свойства (8) выполнена ассоциативность:  m*(k*g)=(m*k)*g=φ(f,a)*φ(a,b)*φ(b,d)=φ(f,d).

Таким образом, первое свойство относительности (8) является эквивалентным критерием существования группы преобразований.

Аналогично доказывается свойство:

∀ b∈M ∃ d∈M : φ(d,b)=g         (9)

Очевидно, что в обоих свойствах элемент d должен быть единственным.

- - - - - - - -

Q.A012. Связаны ли Принцип относительности и число параметров преобразований?

A.A012.

Рассмотрим произвольную теорию для ИСО в непрерывных пространстве и времени, для нее строим чеп для множества ИСО и множества преобразований. Выбрав некоторую ИСО₀ в качестве основы, мы отметим, что каждая ИСО_a двигается в ИСО₀ с некоторой скоростью v_0a. Очевидно, что два преобразования координат g_0a и g_0b из ИСО₀ в ИСО_a и ИСО_b соответственно, имеющих в ИСО₀ разные скорости v_0a и v_0b , могут отличаться, то есть, g_0a существенно зависит от v_0a. Обозначим: v_ab - относительная скорость ИСО_b в ИСО_a, g_ab - преобразование координат из ИСО_a в ИСО_b. Для указанных преобразований выполнено свойство транзитивности:  g_0a(v_0a)*g_ab(v_ab)=g_0b(v_0b). Очевидно, что v_ab выражается через v_0a и v_0b , значит, возможна зависимость g_ab() минимум от одного и максимум от двух параметров, например, от v_0a и v_ab: g_ab(v_0a,v_ab), но не обязательно. Выразив в уравнении g=φ(v_a,v_b) величину v_b через v_0a и v_0b , получим запись преобразования g через параметры v_b и v_bd :  g=φ'(v_b,v_bd).

Преобразование  g=φ(a,b) существенно зависит от относительной скорости v_ab , так как из b≠d следует, что  v_ab≠v_ad и  φ'(v_a,v_ab)≠φ'(v_a,v_ad). А от скорости v_a преобразование  g=φ(a,b) может не зависеть, если при той же подстановке этот параметр аннулируется, как это происходит в  Преобразованиях Лоренца. (Далее в число существенных параметров обязательно будет входить относительная скорость тех ИСО, между которыми рассматривается преобразование.)

Пусть в рассматриваемой теории имеется преобразование g для некоторых ИСО₀ и ИСО_a : g=g(0,v_0a). Пусть выполнено условие (8): φ(b,d)=g(0,v_0a), но предположим, что существуют b,d∈M такие, что преобразование между ними существенно зависит от двух скоростей: φ(b,d)=g(v_0b,v_bd). Тогда g(v_0b,v_bd)=g(0,v_0a), и в силу существенной зависимости от всех параметров получаем, что параметры v_0b,v_bd в формулах представления элементов матрицы преобразования g() должны сводиться к величинам: 0 и v_0a , но поскольку 0 является константой, то зависимость от нее не может быть существенной, то есть, получаем второе свойство относительности - однопарамеричность:

∀ b,d∈M : φ(b,d)=g(v_bd)         (10)

где g() может существенно зависеть только от одного параметра v_bd -  относительной скорости ИСО_d в ИСО_b.

Рассмотрим для группы G множество относительных скоростей V_G. Поскольку для каждой скорости v имеется свое преобразование g(v), а согласно (8), это преобразование применимо к любому b, то получаем дополнительное свойство:

∀ v∈V_G ∀ b∈M ∃ d∈M : φ(d,b)=g(v)         (11)

Отсюда следует, что если в V_G существует конечное ограничение на величину скорости, то это ограничение должно быть одинаковым в каждой ИСО. Таким образом, из свойств группы следует постоянство конечной предельной скорости для всех ИСО.

Построим доказательство свойств группы для множества G в чепе со свойством (11). 

Из построения множества относительных скоростей V_G получается, что относительные скорости рассматривается между всеми парами ИСО из M, но между этими парами ИСО существуют преобразования, следовательно, имеем отображение V_G на G. И тогда первое условие  (∀ v∈V_G) в (11) можно заменить на  (∀ g∈G), тем самым, получаем выполнение критерия группы (8), то есть, из (11) следует свойство группы.

В дальнейшем можно попытаться доказать только из свойства (10), что множество однопараметрических преобразований обязательно образует группу.

- - - - - - - -

Q.A013. Связь понятия относительности с понятием группы первым сформулировал Пуанкаре, как я читал [2008.06.20, george telezhko]

A.A013. Но именно, связь, и только. Пуанкаре сказал в своей Палермской статье, что исходя из его принципа относительности ("невозможно определить абсолютную скорость Земли") преобразования координат между ИСО должны обладать свойством группы, поэтому преобразования, предложенные Лоренцем (с дополнительными двумя параметрами по сравнению с теперешними уравнениями), должны иметь такой-то вид (современный). То есть, он из принципа относительности предположил выполнение свойств группы в множестве преобразований, а из свойств группы вывел современные преобразования Лоренца.

Естественно, что так выведенные преобразования Лоренца свойствами группы обладают.

Хуже всего то, что многих физиков и математиков убеждали (и убедили) считать (ссылаясь при этом на Пуанкаре), что ЛЮБЫЕ преобразования между ИСО ДОЛЖНЫ обладать свойствами группы. Но это не верно. Пуанкаре такого опрометчивого шага не совершал.

- - - - - - - -

Q.A014. Какие отличительные особенности есть у множества преобразований координат? [2007.06.25, quasi]

A.A014. Множество преобразований координат имеет особенности, отличающие этот класс множеств:
  - Каждое преобразование переводит элементы какого-то исходного множества в элементы результирующего множества. Следовательно, любое преобразование может каким-то образом зависеть от исходного и/или результирующего элементов (нелинейное преобразование), или может каким-то образом зависеть от характеристик (параметров) исходного и результирующего множеств (например, в случае линейных преобразований, - от скоростей ИСО в АСО, или относительной скорости ИСО₂ в ИСО₁), в этом смысле можно говорить об одно- и двухпараметрических преобразованиях. Следовательно, множество преобразований не может быть определено без множества пар множеств преобразуемых элементов, и без отображения этого множества пар в множество преобразований.
  - Одна пара исходного и результирующего множеств элементов обязательно соответствует одному и только одному преобразованию, поскольку эта пара и задает преобразование координат между ними.

- - - - - - - -

Q.A015. Корректнее говорить в чепе "частичная бинарная операция" (т.е. не ∀ g₁,g₂∈G существует g₁*g₂∈G), чем "Определяемая на множестве преобразований бинарная операция должна включать в себя композицию любых двух последовательных преобразований"? [2007.06.25, quasi]

A.A015. Нет, не корректнее. Это разные термины.

1. «Частичная» означает, что существует пара g₁,g₂∈G , такая, что g₁*g₂ не принадлежит G. А такого может не быть, если G – группа. То есть, мы заранее группы в чеп не вкладываем. Это слишком большое ограничение. Да и критерии тогда сформулированы не для чепа. Поэтому предлагаю всё-таки название «композиция» оставить. А полная бинарная операция или частичная, будет выясняться для конкретного примера.

2. В термине "композиция" существенным является то, что результирующее множество первого преобразования является исходным множеством для второго преобразования, а в определении частичной бинарной операции этого ограничения нет.

3. У меня есть опасение, что термин «частичная бинарная операция» будет путаться с термином «частичная бинарная операция на группе», а в определении чепа группа не должна упоминаться, так как чеп предназначен для описания множеств преобразований с разными сврйствами.

- - - - - - - -

Q.A016. В линейном пространстве ИСО ни в чем (по свойствам) не отличаются от АСО, т.е. любую из них можно взять в качестве АСО ? [2007.06.25, quasi]

A.A016. Да, в линейном пространстве это почти так (если не считать, что точки в ИСО – это множества точек АСО). В модели с неподвижной в АСО средой – нет. Задав АСО, мы строим теорию для этой конкретной АСО, называемой Абсолютной. Что получится, если выбрать другую АСО₂ – это не вопрос в этой теории, но заведомо это не будет теорией Абсолюта (потому что в АСО₂ среда не будет неподвижной); скорее – это вопрос теории относительности, где любую ИСО можно выбрать в качестве псевдоАбсолютной.

- - - - - - - -

Q.A017. Зачем для пересчета координат из ИСО₁ в ИСО₂ их преобразовать сначала из ИСО₁ в АСО, а затем из АСО в ИСО₂, и получать двухпараметрические преобразования B(v₁,v₂), где v_n - абсолютная скорость движения ИСО_n в АСО: B(v₁,v₂)=A^-1(v1)A(v2). Берем ИСО₁ в качестве АСО,  и тогда ИСО₂ двигается в ИСО₁=АСО₂ с некоторой постоянной скоростью V. Преобразования получаем однопараметрические.[2007.06.25, quasi]

A.A017. Нельзя. В силу постулата П1 нет относительности, чтобы  ИСО₁ считать в качестве АСО₂. И даже если поменять АСО, то это не гарантирует однопараметричности полученных преобразований. Но ведь у нас не тория
Прыгающего Абсолюта - АСО в нашей теории не меняется.

- - - - - - - -

Q.A018. ?

A.A018.

- - - - - - - -

Q.A019. ?

A.A019.

- - - - - - - -

Q.A020. ?

A.A020.  

- - - - - - - -
К началу             <<---    Темы    Вопросы    --->> 

Главная страница                                  Eng

Последняя коррекция 20.06.2008 18:53:18

Хостинг от uCoz